如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点-优题课

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．

求证：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC²＝AB·AD．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

如图1，抛物线 $y ＝﹣ x^{2} + bx + c$ 经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；

（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．

设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为： $a \oplus b \{\begin{matrix} \frac{b}{a} (a > 0) \\ a - b (a \leq 0) \end{matrix}$ ，

例如： $1 \oplus (- 3) = \frac{- 3}{1} = - 3, (- 3) \oplus 2 = (- 3) - 2 = - 5$ ，

$(x^{2} + 1) \oplus (x - 1) = \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$ （因为 $x^{2} + 1 ＞ 0$ ）

参照上面材料，解答下列问题：

（1） $2 \oplus 4 ＝$ 　　， $（﹣ 2 ） \oplus 4 =$ 　　；

（2）若 $x > \frac{1}{2}$ ，且满足 $（ 2 x - 1 ） \oplus （ 4 x^{2} - 1 ）＝（﹣ 4 ） \oplus （ 1 - 4 x ）$ ，求x的值．

如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B

（1）求证：直线CD是⊙O的切线；

（2）如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3cm，求 $\hat{DE}$ 的长度（结果保留π）

小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度．（结果保留到整数，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4,$ $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20千克．

（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；

（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？

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