计算：-优题课

如图1，抛物线 $y = - \frac{3}{5} [{(x - 2)}^{2} + n]$ 与 $x$ 轴交于点 $A (m - 2, 0)$ 和 $B (2 m + 3, 0)$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $BC$ ．

（1）求 $m$ 、 $n$ 的值；

（2）如图2，点 $N$ 为抛物线上的一动点，且位于直线 $BC$ 上方，连接 $CN$ 、 $BN$ ．求 $ΔNBC$ 面积的最大值；

（3）如图3，点 $M$ 、 $P$ 分别为线段 $BC$ 和线段 $OB$ 上的动点，连接 $PM$ 、 $PC$ ，是否存在这样的点 $P$ ，使 $ΔPCM$ 为等腰三角形， $ΔPMB$ 为直角三角形同时成立？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的 $A$ 型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少 $10 %$ ，求：

（1） $A$ 型自行车去年每辆售价多少元？

（2）该车行今年计划新进一批 $A$ 型车和新款 $B$ 型车共60辆，且 $B$ 型车的进货数量不超过 $A$ 型车数量的两倍．已知 $A$ 型车和 $B$ 型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划 $B$ 型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？

为参加学校的“我爱古诗词”知识竞赛，小王所在班级组织了一次古诗词知识测试，并将全班同学的分数（得分取正整数，满分为100分）进行统计．以下是根据这次测试成绩制作的不完整的频率分布表和频率分布直方图．

组别	分组	频数	频率
1	$50 ⩽ x < 60$	9	0.18
2	$60 ⩽ x < 70$	$a$
3	$70 ⩽ x < 80$	20	0.40
4	$80 ⩽ x < 90$		0.08
5	$90 ⩽ x ⩽ 100$	2	$b$
	合计

请根据以上频率分布表和频率分布直方图，回答下列问题：

（1）求出 $a$ 、 $b$ 、 $x$ 、 $y$ 的值；

（2）老师说：“小王的测试成绩是全班同学成绩的中位数”，那么小王的测试成绩在什么范围内？

（3）若要从小明、小敏等五位成绩优秀的同学中随机选取两位参加竞赛，请用“列表法”或“树状图”求出小明、小敏同时被选中的概率．（注：五位同学请用 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 表示，其中小明为 $A$ ，小敏为 $B$ ）

（1）已知 $- \frac{1}{2} x^{2 m - 1} y^{5}$ 与 $x^{n} y^{m + n}$ 是同类项，求 $m$ 、 $n$ 的值；

（2）先化简后求值： $(\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 2}) \div \frac{a}{a^{2} + a - 2}$ ，其中 $a = \sqrt{3}$ ．

已知：如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 6 cm$ ， $BC = 8 cm$ ，对角线 $AC$ ， $BD$ 交于点 $O$ ．点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $AD$ 方向匀速运动，速度为 $1 cm / s$ ；同时，点 $Q$ 从点 $D$ 出发，沿 $DC$ 方向匀速运动，速度为 $1 cm / s$ ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接 $PO$ 并延长，交 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $Q$ 作 $QF / / AC$ ，交 $BD$ 于点 $F$ ．设运动时间为 $t (s) (0 < t < 6)$ ，解答下列问题：

（1）当 $t$ 为何值时， $ΔAOP$ 是等腰三角形？

（2）设五边形 $OECQF$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ，试确定 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使 $S_{五边形 OECQF} : S_{ΔACD} = 9 : 16$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使 $OD$ 平分 $∠ COP$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．