已知，求代数式的值．-优题课

如图， $PA$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $AB ⊥ OP$ ，垂足为 $C$ ，交 $⊙ O$ 于点 $B$ ．连接 $PB$ ， $AO$ ，并延长 $AO$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，与 $PB$ 的延长线交于点 $E$ ．

（1）求证： $PB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $OC = 3$ ， $AC = 4$ ，求 $\sin E$ 的值．

杨老师为了了解所教班级学生课后复习的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类： $A$ ：优秀； $B$ ：良好； $C$ ：一般； $D$ ：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．

请根据统计图解答下列问题：

（1）本次调查中，杨老师一共调查了　　名学生，其中 $C$ 类女生有　　名， $D$ 类男生有　　名；

（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；

（3）在此次调查中，小平属于 $D$ 类．为了进步，她请杨老师从被调查的 $A$ 类学生中随机选取一位同学，和她进行“一帮一”的课后互助学习．请求出所选的同学恰好是一位女同学的概率．

如图， $▱ ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ． $E$ ， $F$ 是 $AC$ 上的两点，并且 $AE = CF$ ，连接 $DE$ ， $BF$ ．

（1）求证： $ΔDOE ≅ ΔBOF$ ；

（2）若 $BD = EF$ ，连接 $EB$ ， $DF$ ，判断四边形 $EBFD$ 的形状，并说明理由．

现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整） $:$

步数	频数	频率
$0 ⩽ x < 4000$	8	$a$
$4000 ⩽ x < 8000$	15	0.3
$8000 ⩽ x < 12000$	12	$b$
$12000 ⩽ x < 16000$	$c$	0.2
$16000 ⩽ x < 20000$	3	0.06
$20000 ⩽ x < 24000$	$d$	0.04

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）写出 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 的值并补全频数分布直方图；

（2）本市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？

（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．

某周日上午 $8 : 00$ 小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动． $11 : 00$ 时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在 $12 : 00$ 前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米 $/$ 小时的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家 $x$ （小时）后，到达离家 $y$ （千米）的地方，图中折线 $OABCD$ 表示 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系．

（1）活动中心与小宇家相距　　千米，小宇在活动中心活动时间为　　小时，他从活动中心返家时，步行用了　　小时；

（2）求线段 $BC$ 所表示的 $y$ （千米）与 $x$ （小时）之间的函数关系式（不必写出 $x$ 所表示的范围）；

（3）根据上述情况（不考虑其他因素），请判断小宇是否能在 $12 : 00$ 前回到家，并说明理由．