如图，∠A∠B50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点-优题课

如图， $∠ A = ∠ B = 50 °$ ， $P$ 为 $AB$ 中点，点 $M$ 为射线 $AC$ 上（不与点 $A$ 重合）的任意一点，连接 $MP$ ，并使 $MP$ 的延长线交射线 $BD$ 于点 $N$ ，设 $∠ BPN = α$ ．

（1）求证： $ΔAPM ≅ ΔBPN$ ；

（2）当 $MN = 2 BN$ 时，求 $α$ 的度数；

（3）若 $ΔBPN$ 的外心在该三角形的内部，直接写出 $α$ 的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的外接圆与外心全等三角形的判定与性质三角形综合题

$A$ 商场从某厂以75元 $/$ 件的价格采购一种商品，售价是100元 $/$ 件．厂家与商场约定：若商场一次性采购达到或超过400件，厂家按每件5元返利给 $A$ 商场．商场没有售完的，可以以65元 $/$ 件退还给厂家．设 $A$ 商场售出该商品 $x$ 件，问： $A$ 商场对这种商品的销量至少要多少时，他们的获利能达到9600元？

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AD$ 是 $ΔABC$ 的角平分线，点 $O$ 在边 $AB$ 上．过点 $A$ 、 $D$ 的圆的圆心 $O$ 在边 $AB$ 上，它与边 $AB$ 交于另一点 $E$ ．

（1）试判断 $BC$ 与圆 $O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $AC = 6$ ， $\sin B = \frac{3}{5}$ ，求 $AD$ 的长．

某校4月份八年级的生物实验考查，有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验．小明、小丽都参加了本次考查．

（1）小丽参加实验 $A$ 考查的概率是　　；

（2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验 $A$ 考查的概率．

某市教育局组织全市中小学教师开展“请千家”活动．活动过程中，教有局随机抽取了近两周家访的教师人数及家访次数，将采集到的全部数据按家访次数分成五类，由甲、乙两人分别绘制了下面的两幅统计图（图都不完整）．

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）请把这幅条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）；

（2）在采集到的数据中，近两周平均每位教师家访　　次；

（3）若该市有12000名教师，则近两周家访不少于3次的教师约有　　人．

如图，已知五边形 $ABCDE$ 是正五边形，连接 $AC$ 、 $AD$ ．证明： $∠ ACD = ∠ ADC$ ．

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