如图，若b是正数，直线l:yb与y轴交于点A；直线a:yxb-优题课

题文

如图，若 $b$ 是正数，直线 $l : y = b$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ；直线 $a : y = x - b$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ ；抛物线 $L : y = - x^{2} + bx$ 的顶点为 $C$ ，且 $L$ 与 $x$ 轴右交点为 $D$ ．

（1）若 $AB = 8$ ，求 $b$ 的值，并求此时 $L$ 的对称轴与 $a$ 的交点坐标；

（2）当点 $C$ 在 $l$ 下方时，求点 $C$ 与 $l$ 距离的最大值；

（3）设 $x_{0} \neq 0$ ，点 $(x_{0}$ ， $y_{1})$ ， $(x_{0}$ ， $y_{2})$ ， $(x_{0}$ ， $y_{3})$ 分别在 $l$ ， $a$ 和 $L$ 上，且 $y_{3}$ 是 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的平均数，求点 $(x_{0}$ ， $0)$ 与点 $D$ 间的距离；

（4）在 $L$ 和 $a$ 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出 $b = 2019$ 和 $b = 2019.5$ 时“美点”的个数．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

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