如图，若$b$是正数，直线$l:y=b$与$y$轴交于点$A$；直线$a:y=x-b$与$y$轴交于点$B$；抛物线$L:y=-x^2+\mathit{bx}$的顶点为$C$，且$L$与$x$轴右交点为$D$．

（1）若$\mathit{AB}=8$，求$b$的值，并求此时$L$的对称轴与$a$的交点坐标；

（2）当点$C$在$l$下方时，求点$C$与$l$距离的最大值；

（3）设$x_0\ne 0$，点$(x_0$，$y_1)$，$(x_0$，$y_2)$，$(x_0$，$y_3)$分别在$l$，$a$和$L$上，且$y_3$是$y_1$，$y_2$的平均数，求点$(x_0$，$0)$与点$D$间的距离；

（4）在$L$和$a$所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出$b=2019$和$b=2019.5$时“美点”的个数．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数综合题