如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为-优题课

下面有四个命题：

（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形.

（2）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.

（3）一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.

（4）一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.

上述命题是否正确?正确的请证明，错误的请举出反例.

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $BC = 2 AB ， M$ 是 $AD$ 的中点， $CE ⊥ AB$ 于点 $E$ ，求证： $∠ DME = 3 ∠ AEM$ .

如图①，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = CD ， E ， F$ 分别是 $BC ， AD$ 的中点，连接 $EF$ 并延长，分别与 $BA ， CD$ 的延长线交于点 $M ， N$ ，则 $∠ BME = ∠ CNE$ .

（温馨提示：在图①中，连接 $BD$ ，取 $BD$ 的中点 $H$ ，连接 $HE ， HF$ ，根据三角形中位线定理，证明 $HE = HF$ ，从而 $∠ 1 = ∠ 2$ ，再利用平行线性质，可证 $∠ BME = ∠ CNE$ .）

（1）如图②，在四边形 $ADBC$ 中， $AB$ 与 $CD$ 相交于点 $O ， AB = CD ， E ， F$ 分别是 $BC ， AD$ 的中点，连接 $EF$ ，分别交 $DC ， AB$ 于点 $M ， N$ ，判断 $△ OMN$ 的形状，并给予证明；

（2）如图③，在 $△ ABC$ 中， $AC > AB ， D$ 点在 $AC$ 上， $AB = CD ， E ， F$ 分别是 $BC ， AD$ 的中点，连接 $EF$ 并延长，与 $BA$ 的延长线交于 $G$ ，若 $∠ EFC = 60^{\circ}$ ，连接 $GD$ ，判断 $△ AGD$ 的形状并证明.

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $∠ ABC = 75^{\circ} ， AF ⊥ BC$ 于 $F ， AF$ 交 $BD$ 于 $E$ ，若 $DE = 2 AB$ ，求 $∠ AED$ 的大小.

设直角三角形的两条直角边长分别为 $a, b,$ 斜边长为 $c,$ 若 $a, b, c,$ 均为正数，且 $c = \frac{1}{3} ab - (a + b)$ ，求满足条件的直角三角形的个数.