如图①，在$\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中，$\angle C=90°$，$\mathit{AB}=10$，$\mathit{BC}=6$，点$P$从点$A$出发，沿折线$\mathit{AB}-\mathit{BC}$向终点$C$运动，在$\mathit{AB}$上以每秒5个单位长度的速度运动，在$\mathit{BC}$上以每秒3个单位长度的速度运动，点$Q$从点$C$出发，沿$\mathit{CA}$方向以每秒$\frac{4}{3}$个单位长度的速度运动，$P$，$Q$两点同时出发，当点$P$停止时，点$Q$也随之停止．设点$P$运动的时间为$t$秒．

（1）求线段$\mathit{AQ}$的长；（用含$t$的代数式表示）

（2）连结$\mathit{PQ}$，当$\mathit{PQ}$与$\mathit{\Delta ABC}$的一边平行时，求$t$的值；

（3）如图②，过点$P$作$\mathit{PE}\perp \mathit{AC}$于点$E$，以$\mathit{PE}$，$\mathit{EQ}$为邻边作矩形$\mathit{PEQF}$，点$D$为$\mathit{AC}$的中点，连结$\mathit{DF}$．设矩形$\mathit{PEQF}$与$\mathit{\Delta ABC}$重叠部分图形的面积为$S$．①当点$Q$在线段$\mathit{CD}$上运动时，求$S$与$t$之间的函数关系式；②直接写出$\mathit{DF}$将矩形$\mathit{PEQF}$分成两部分的面积比为$1:2$时$t$的值．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 矩形的性质 二次函数的应用 直角三角形的性质