2018年1月20日，山西迎来了复兴号列车，与和谐号相比，复-优题课

2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南 $-$ 北京西”全程大约500千米，“复兴号” $G 92$ 次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的 $\frac{4}{5}$ （两列车中途停留时间均除外）．经查询，“复兴号” $G 92$ 次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟．求乘坐“复兴号” $G 92$ 次列车从太原南到北京西需要多长时间．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：分式方程的应用

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + k = 0$ .

（1）求证:无论 $k$ 取何值，方程都有两个不相等的实数根.

（2）如果方程的两个实数根为 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $k$ 与 $\frac{x_{1}}{x_{2}}$ 都为整数，求 $k$ 所有可能的值.

设 $m$ 是不小于 $- 1$ 的实数，关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 (m - 2) x + m^{2} - 3 m + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}$ .

（1）若 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 6$ ，求 $m$ 的值；

（2）求 $\frac{m x_{1}^{2}}{1 - x_{1}} + \frac{m x_{2}^{2}}{1 - x_{2}}$ 的最大值.

已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (2 k - 1) x + k^{2} = 0$ 有两个实根 $x_{1}, x_{2}$ ，且满足 $x_{1} x_{2} - |x_{1}| - |x_{2}| = 2$ ，求实数 $k$ 的值；

如图，在 $▱ A B C D$ 中， $P$ 是线段 $B C$ 中点，联结 $B D$ 交 $A P$ 于点 $E$ ，联结 $C E$ ．

（1）如果 $A E ＝ C E$ ．

ⅰ．求证： $▱ A B C D$ 为菱形；

ⅱ．若 $A B ＝ 5 ， C E ＝ 3$ ，求线段 $B D$ 的长；

（2）分别以 $A E ， B E$ 为半径，点 $A ， B$ 为圆心作圆，两圆交于点 $E ， F$ ，点 $F$ 恰好在射线 $C E$ 上，如果 $C E = \sqrt{2} A E$ ，求 $\frac{AB}{BC}$ 的值．

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 过点 $A （ ﹣ 2 ， ﹣ 1 ）， B （ 0 ， ﹣ 3 ）$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移抛物线，平移后的顶点为 $P （ m ， n ）（ m ＞ 0 ）$ ．

ⅰ．如果 $S_{△ O B P} ＝ 3$ ，设直线 $x ＝ k$ ，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；

ⅱ．点 $P$ 在原抛物线上，新抛物线交 $y$ 轴于点 $Q$ ，且 $∠ B P Q ＝ 120 °$ ，求点 $P$ 的坐标．

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