综合与实践

问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AD}=2\mathit{AB}$，$E$是$\mathit{AB}$延长线上一点，且$\mathit{BE}=\mathit{AB}$，连接$\mathit{DE}$，交$\mathit{BC}$于点$M$，以$\mathit{DE}$为一边在$\mathit{DE}$的左下方作正方形$\mathit{DEFG}$，连接$\mathit{AM}$．试判断线段$\mathit{AM}$与$\mathit{DE}$的位置关系．

探究展示：勤奋小组发现，$\mathit{AM}$垂直平分$\mathit{DE}$，并展示了如下的证明方法：

证明：$\because \mathit{BE}=\mathit{AB}$，$\therefore \mathit{AE}=2\mathit{AB}$．

$\because \mathit{AD}=2\mathit{AB}$，$\therefore \mathit{AD}=\mathit{AE}$．

$\because$四边形$\mathit{ABCD}$是矩形，$\therefore \mathit{AD}//\mathit{BC}$．

$\therefore \frac{\mathit{EM}}{\mathit{DM}}=\frac{\mathit{EB}}{\mathit{AB}}$．（依据$1)$

$\because \mathit{BE}=\mathit{AB}$，$\therefore \frac{\mathit{EM}}{\mathit{DM}}=1$．$\therefore \mathit{EM}=\mathit{DM}$．

即$\mathit{AM}$是$\mathit{\Delta ADE}$的$\mathit{DE}$边上的中线，

又$\because \mathit{AD}=\mathit{AE}$，$\therefore \mathit{AM}\perp \mathit{DE}$．（依据$2)$

$\therefore \mathit{AM}$垂直平分$\mathit{DE}$．

反思交流：

（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？

②试判断图1中的点$A$是否在线段$\mathit{GF}$的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；

（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接$\mathit{CE}$，以$\mathit{CE}$为一边在$\mathit{CE}$的左下方作正方形$\mathit{CEFG}$，发现点$G$在线段$\mathit{BC}$的垂直平分线上，请你给出证明；

探索发现：

（3）如图3，连接$\mathit{CE}$，以$\mathit{CE}$为一边在$\mathit{CE}$的右上方作正方形$\mathit{CEFG}$，可以发现点$C$，点$B$都在线段$\mathit{AE}$的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形$\mathit{ABCD}$和正方形$\mathit{CEFG}$的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 矩形的性质 全等三角形的判定与性质 正方形的性质 线段垂直平分线逆定理 四边形综合题