如图1，二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2-2x+1$ 的图象与一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 的坐标为 $(0,1)$ ，点 $B$ 在第一象限内，点 $C$ 是二次函数图象的顶点，点 $M$ 是一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$ 的图象与 $x$ 轴的交点，过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，且 $S_{\mathit{\Delta AMO}}:S_{\mathit{四边形}\mathit{AONB}}=1:48$ ．

（1）求直线 $\mathit{AB}$ 和直线 $\mathit{BC}$ 的解析式；

（2）点 $P$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上一点，点 $D$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上一点， $\mathit{PD}//x$ 轴，射线 $\mathit{PD}$ 与抛物线交于点 $G$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp x$ 轴于点 $E$ ， $\mathit{PF}\perp \mathit{BC}$ 于点 $F$ ．当 $\mathit{PF}$ 与 $\mathit{PE}$ 的乘积最大时，在线段 $\mathit{AB}$ 上找一点 $H$ （不与点 $A$ ，点 $B$ 重合），使 $\mathit{GH}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{BH}$ 的值最小，求点 $H$ 的坐标和 $\mathit{GH}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{BH}$ 的最小值；

（3）如图2，直线 $\mathit{AB}$ 上有一点 $K(3,4)$ ，将二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2-2x+1$ 沿直线 $\mathit{BC}$ 平移，平移的距离是 $t(t⩾0)$ ，平移后抛物线上点 $A$ ，点 $C$ 的对应点分别为点 $A\text{'}$ ，点 $C\text{'}$ ；当△ $A\text{'}C\text{'}K$ 是直角三角形时，求 $t$ 的值．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 相似三角形的判定与性质 待定系数法求一次函数解析式 二次函数综合题