图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是-优题课

题文

图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图， $ME$ 、 $EF$ 、 $FN$ 是门轴的滑动轨道， $∠ E = ∠ F = 90 °$ ，两门 $AB$ 、 $CD$ 的门轴 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 都在滑动轨道上，两门关闭时（图 $2)$ ， $A$ 、 $D$ 分别在 $E$ 、 $F$ 处，门缝忽略不计（即 $B$ 、 $C$ 重合）；两门同时开启， $A$ 、 $D$ 分别沿 $E \to M$ ， $F \to N$ 的方向匀速滑动，带动 $B$ 、 $C$ 滑动： $B$ 到达 $E$ 时， $C$ 恰好到达 $F$ ，此时两门完全开启，已知 $AB = 50 cm$ ， $CD = 40 cm$ ．

（1）如图3，当 $∠ ABE = 30 °$ 时， $BC =$ 　　 $cmcm$ ．

（2）在（1）的基础上，当 $A$ 向 $M$ 方向继续滑动 $15 cm$ 时，四边形 $ABCD$ 的面积为　　 $c m^{2}$ ．

科目数学题型填空题难度中等

知识点：解直角三角形的应用

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如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1, 0)$ 和点 $B (- 3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $BC$ ，与抛物线的对称轴交于点 $E$ ，顶点为点 $D$ .点 $P$ 是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点 $Q$ 在射线 $ED$ 上，若以点 $P, Q, E$ 为顶点的三角形与 $△ BOC$ 相似，则点 $P$ 的坐标为＿＿＿＿＿．

已知在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(3, 4), M$ 是抛物线 $y = a x^{2} + bx + 2 (a \neq 0)$ 对称轴上的一个动点.小明经探究发现:当 $\frac{b}{a}$ 的值确定时，抛物线的对称轴上能使 $△ AOM$ 为直角三角形的点 $M$ 的个数也随之确定，若抛物线 $y = a x^{2} + bx + 2 (a \neq 0)$ 的对称轴上存在 $3$ 个不同的点 $M$ ，使 $△ AOM$ 为直角三角形，则 $\frac{b}{a}$ 的值是＿＿＿＿＿．

如图， $△ ABC$ 的顶点是正方形网格的格点，则 $sin A$ 的值为＿＿＿＿＿．

如图，已知动点 $A$ 在函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上， $AB ⊥ x$ 轴于点 $B$ ， $AC ⊥ y$ 轴于点 $C$ ，延长 $CA$ 交以 $A$ 为圆心 $AB$ 长为半径的圆弧于点 $E$ ，延长 $BA$ 交以 $A$ 为圆心 $AC$ 长为半径的圆弧于点 $F$ ，直线 $EF$ 分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $M, N$ ，当 $NF = 4 EM$ 时，图中阴影部分的面积等于＿＿＿＿＿．

如图，射线 $AM, BN$ 都垂直于线段 $AB$ ，点 $E$ 为 $AM$ 上一点，过点 $A$ 作 $BE$ 的垂线 $AC$ 分别交 $BE, BN$ 于点 $F, C$ ，过点 $C$ 作 $AM$ 的垂线 $CD$ ，垂足为 $D$ ，若 $CD = CF$ ，则 $\frac{AE}{AD}$ 的值为＿＿＿＿＿．

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