如图1，⊙O经过等边ΔABC的顶点A，C（圆心O在ΔABC内-优题课

题文

如图1， $⊙ O$ 经过等边 $ΔABC$ 的顶点 $A$ ， $C$ （圆心 $O$ 在 $ΔABC$ 内），分别与 $AB$ ， $CB$ 的延长线交于点 $D$ ， $E$ ，连结 $DE$ ， $BF ⊥ EC$ 交 $AE$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $BD = BE$ ．

（2）当 $AF : EF = 3 : 2$ ， $AC = 6$ 时，求 $AE$ 的长．

（3）设 $\frac{AF}{EF} = x$ ， $\tan ∠ DAE = y$ ．

①求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

②如图2，连结 $OF$ ， $OB$ ，若 $ΔAEC$ 的面积是 $ΔOFB$ 面积的10倍，求 $y$ 的值．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：圆周角定理解直角三角形相似三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质等边三角形的性质

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如图， $⊙ O$ 中，弦 $AB$ 与 $CD$ 相交于点 $E$ ， $AB = CD$ ，连接 $AD$ 、 $BC$ ．

求证：（1） $\hat{AD} = \hat{BC}$ ；

（2） $AE = CE$ ．

解方程： $\frac{x}{x - 1} - \frac{2}{x} = 1$ ．

计算： $| - 3 | - 4 \sin 45 ° + \sqrt{8} + {(π - 3)}^{0}$

如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 过点 $A (3, 2)$ ，且与直线 $y = - x + \frac{7}{2}$ 交于 $B$ 、 $C$ 两点，点 $B$ 的坐标为 $(4, m)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $D$ 为抛物线上位于直线 $BC$ 上方的一点，过点 $D$ 作 $DE ⊥ x$ 轴交直线 $BC$ 于点 $E$ ，点 $P$ 为对称轴上一动点，当线段 $DE$ 的长度最大时，求 $PD + PA$ 的最小值；

（3）设点 $M$ 为抛物线的顶点，在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使 $∠ AQM = 45 °$ ？若存在，求点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

在矩形 $ABCD$ 中，连结 $AC$ ，点 $E$ 从点 $B$ 出发，以每秒1个单位的速度沿着 $B \to A \to C$ 的路径运动，运动时间为 $t$ （秒 $)$ ．过点 $E$ 作 $EF ⊥ BC$ 于点 $F$ ，在矩形 $ABCD$ 的内部作正方形 $EFGH$ ．

（1）如图，当 $AB = BC = 8$ 时，

①若点 $H$ 在 $ΔABC$ 的内部，连结 $AH$ 、 $CH$ ，求证： $AH = CH$ ；

②当 $0 < t ⩽ 8$ 时，设正方形 $EFGH$ 与 $ΔABC$ 的重叠部分面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；

（2）当 $AB = 6$ ， $BC = 8$ 时，若直线 $AH$ 将矩形 $ABCD$ 的面积分成 $1 : 3$ 两部分，求 $t$ 的值．