如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，-优题课

如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道 $AB$ ，栈道 $AB$ 与景区道路 $CD$ 平行．在 $C$ 处测得栈道一端 $A$ 位于北偏西 $42 °$ 方向，在 $D$ 处测得栈道另一端 $B$ 位于北偏西 $32 °$ 方向．已知 $CD = 120 m$ ， $BD = 80 m$ ，求木栈道 $AB$ 的长度（结果保留整数）．

（参考数据： $\sin 32 ° \approx \frac{17}{32}$ ， $\cos 32 ° \approx \frac{17}{20}$ ， $\tan 32 ° \approx \frac{5}{8}$ ， $\sin 42 ° \approx \frac{27}{40}$ ， $\cos 42 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $\tan 42 ° \approx \frac{9}{10})$

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形的应用-方向角问题

阅读理解：

在平面直角坐标系中，点 $M$ 的坐标为 $(x_{1}$ ， $y_{1})$ ，点 $N$ 的坐标为 $(x_{2}$ ， $y_{2})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $y_{1} \neq y_{2}$ ，若 $M$ 、 $N$ 为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为 $M$ 、 $N$ 的"相关矩形"．如图1中的矩形为点 $M$ 、 $N$ 的"相关矩形"．

（1）已知点 $A$ 的坐标为 $(2, 0)$ ．

①若点 $B$ 的坐标为 $(4, 4)$ ，则点 $A$ 、 $B$ 的"相关矩形"的周长为　　；

②若点 $C$ 在直线 $x = 4$ 上，且点 $A$ 、 $C$ 的"相关矩形"为正方形，求直线 $AC$ 的解析式；

（2）已知点 $P$ 的坐标为 $(3, - 4)$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(6, - 2)$ 若使函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与点 $P$ 、 $Q$ 的"相关矩形"有两个公共点，直接写出 $k$ 的取值．

为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元；第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．

（1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；

（2）青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元，要使先后购进的四大名著刚好配套（四大名著各一本为一套），那么这次最多购买《西游记》多少本？

某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，准备从12个班里抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为 $t$ （单位，小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按 $t ⩽ 6$ 、 $6 < t < 8$ 、 $t ⩾ 8$ 分为三类进行分析．

（1）下列抽取方法具有代表性的是　　．

$A$ ．随机抽取一个班的学生

$B$ ．从12个班中，随机抽取50名学生

$C$ ．随机抽取50名男生

$D$ ．随机抽取50名女生

（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表：

睡眠时间 $t$ （小时）	5	5.5	6	6.5	7	7.5	8	8.5
人数（人 $)$	1	1	2	10	15	9	10	2

①这组数据的众数和中位数分别是　　，　　；

②估计九年级学生平均每天睡眼时间 $t ⩾ 8$ 的人数大约为多少；

（3）从样本中学生平均每天眠时间 $t ⩽ 6$ 的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表，求抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $D$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $AC = AD$ ．

（1）作 $∠ BAC$ 的平分线，交 $BC$ 于点 $E$ ；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，连接 $DE$ ，求证： $DE ⊥ AB$ ．

先化简，再求值： $\frac{m - 3}{m - 2} \div {(m + 2 - \frac{5}{m - 2})}^{}$ ，其中 $m = {(\frac{1}{3})}^{- 1} + {(2 - π)}^{0} + \sqrt{8} - | - 7 |$ ．