如图，顶点为M的抛物线yax2bx3与x轴交于A(3,0)，-优题课

题文

如图，顶点为 $M$ 的抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (3, 0)$ ， $B (- 1, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在 $y$ 轴上是否存在一点 $P$ ，使得 $ΔPAM$ 为直角三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点 $D$ ，满足 $DA = OA$ ，过 $D$ 作 $DG ⊥ x$ 轴于点 $G$ ，设 $ΔADG$ 的内心为 $I$ ，试求 $CI$ 的最小值．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式点与圆的位置关系二次函数综合题切线长定理三角形的内切圆与内心

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小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，，两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角，立杆，小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考数据：，，

解不等式组： $\{\begin{matrix} x - 1 (x - 2) \geq 4 \dots ① \\ \frac{1 + 2 x}{3} > χ - 1 \dots ② \end{matrix}$ ．

先化简，再求值： $\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x^{2} - 4} \div \frac{1}{x + 2}$ ，其中．

计算： $| \sqrt{2} - 3 | - \sqrt{16} + {(\frac{1}{3})}^{0}$ ．

如图1，已知抛物线 $l_{1} : y = - \frac{1}{2} x^{2} + x + 3$ 与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点，点，到直线的距离相等．

（1）求直线的表达式；

（2）将直线向下平移 $\frac{5}{2}$ 个单位，平移后的直线与抛物线交于点，（如图，判断直线是否平分线段，并说明理由；

（3）已知抛物线，，为常数）和直线有两个交点，，对于任意满足条件的，线段都能被直线平分，请直接写出与，之间的数量关系．

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