如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x1处放置反光镜Ⅰ-优题课

如图所示，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，在直线 $x = 1$ 处放置反光镜Ⅰ，在 $y$ 轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段 $AB$ ，其中点 $A (0, 1)$ ，点 $B$ 在点 $A$ 上方，且 $AB = 1$ ，在直线 $x = - 1$ 处放置一个挡板Ⅲ，从点 $O$ 发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口 $AB$ 照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为　　．

科目数学题型填空题难度中等

知识点：镜面对称解直角三角形

A、B、C三个足球队举行单循环比赛（每个队与另一个队只比赛一场，共三场），下表给出的是比赛的部分结果：

请根据上表，填上A队与C队比赛时的比分为＿＿＿＿＿.

如图，图①是一个边长为 $1$ 的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图②），依此规律继续拼下去（如图③），……则第 $n$ 个图形的周长是＿＿＿＿＿.

王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为 $1$ 的图形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用彩色纸片覆盖面积的 $\frac{1}{2} ， \frac{1}{4} ， \frac{1}{8}$ ，…，请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当 $n$ 为正整数时， $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^{n}} =$ ＿＿＿＿＿.

如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒， $a ， b ， c ， d$ 是相邻两行的前四个数（如图所示），那么当 $a = 8$ 时， $c =$ ＿＿＿＿＿， $d =$ ＿＿＿＿＿.

一个纸质的正方形“仙人掌”，假设“仙人掌”在不断地生长，新长的叶子是“缺角的正方形”，这些“正方形”的中心在先前正方形的角上，它们的边长是先前正方形的一半（如图）.若第 $1$ 个正方形的边长是 $1$ ，则生长到第 $4$ 次后，所得图形的面积是＿＿＿＿＿.

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