如图①，在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，已知$A(-2,2)$，$B(-2,0)$，$C(0,2)$，$D(2,0)$四点，动点$M$以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿$B\to C\to D$运动$(M$不与点$B$、点$D$重合），设运动时间为$t$（秒$)$．

（1）求经过$A$、$C$、$D$三点的抛物线的解析式；

（2）点$P$在（1）中的抛物线上，当$M$为$\mathit{BC}$的中点时，若$\mathit{\Delta PAM}\cong \mathit{\Delta PBM}$，求点$P$的坐标；

（3）当$M$在$\mathit{CD}$上运动时，如图②．过点$M$作$\mathit{MF}\perp x$轴，垂足为$F$，$\mathit{ME}\perp \mathit{AB}$，垂足为$E$．设矩形$\mathit{MEBF}$与$\mathit{\Delta BCD}$重叠部分的面积为$S$，求$S$与$t$的函数关系式，并求出$S$的最大值；

（4）点$Q$为$x$轴上一点，直线$\mathit{AQ}$与直线$\mathit{BC}$交于点$H$，与$y$轴交于点$K$．是否存在点$Q$，使得$\mathit{\Delta HOK}$为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有$Q$点的坐标；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 待定系数法求二次函数解析式 全等三角形的判定与性质 二次函数综合题