在RtΔABC中，∠C90°，∠A30°，D，E，F分别是A-优题课

在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $AC$ ， $AB$ ， $BC$ 的中点，连接 $ED$ ， $EF$ ．

（1）求证：四边形 $DEFC$ 是矩形；

（2）请用无刻度的直尺在图中作出 $∠ ABC$ 的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：矩形的判定与性质含30度角的直角三角形三角形中位线定理

在平面直角坐标系中，抛物线 $y = 2 {(x - m)}^{2} + 2 m (m$ 为常数）的顶点为 $A$ ．

（1）当 $m = \frac{1}{2}$ 时，点 $A$ 的坐标是　　，抛物线与 $y$ 轴交点的坐标是　　；

（2）若点 $A$ 在第一象限，且 $OA = \sqrt{5}$ ，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时 $x$ 的取值范围；

（3）当 $x ⩽ 2 m$ 时，若函数 $y = 2 {(x - m)}^{2} + 2 m$ 的最小值为3，求 $m$ 的值；

（4）分别过点 $P (4, 2)$ 、 $Q (4, 2 - 2 m)$ 作 $y$ 轴的垂线，交抛物线的对称轴于点 $M$ 、 $N$ ．当抛物线 $y = 2 {(x - m)}^{2} + 2 m$ 与四边形 $PQNM$ 的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点 $B$ 、点 $C$ ，且点 $B$ 的纵坐标大于点 $C$ 的纵坐标．若点 $B$ 到 $y$ 轴的距离与点 $C$ 到 $x$ 轴的距离相等，直接写出 $m$ 的值．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AB = 5$ ， $BC = 3$ ，点 $D$ 为边 $AC$ 的中点．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $AB - BC$ 以每秒1个单位长度的速度向点 $C$ 运动，当点 $P$ 不与点 $A$ 、 $C$ 重合时，连结 $PD$ ．作点 $A$ 关于直线 $PD$ 的对称点 $A'$ ，连结 $A' D$ 、 $A' A$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

（1）线段 $AD$ 的长为　　；

（2）用含 $t$ 的代数式表示线段 $BP$ 的长；

（3）当点 $A'$ 在 $ΔABC$ 内部时，求 $t$ 的取值范围；

（4）当 $∠ AA' D$ 与 $∠ B$ 相等时，直接写出 $t$ 的值．

实践与探究

操作一：如图①，已知正方形纸片 $ABCD$ ，将正方形纸片沿过点 $A$ 的直线折叠，使点 $B$ 落在正方形 $ABCD$ 的内部，点 $B$ 的对应点为点 $M$ ，折痕为 $AE$ ，再将纸片沿过点 $A$ 的直线折叠，使 $AD$ 与 $AM$ 重合，折痕为 $AF$ ，则 $∠ EAF =$ 　　度．

操作二：如图②，将正方形纸片沿 $EF$ 继续折叠，点 $C$ 的对应点为点 $N$ ．我们发现，当点 $E$ 的位置不同时，点 $N$ 的位置也不同．当点 $E$ 在 $BC$ 边的某一位置时，点 $N$ 恰好落在折痕 $AE$ 上，则 $∠ AEF =$ 　　度．

在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

（1）设 $AM$ 与 $NF$ 的交点为点 $P$ ．求证： $ΔANP ≅ ΔFNE$ ；

（2）若 $AB = \sqrt{3}$ ，则线段 $AP$ 的长为　　．

《九章算术》中记载，浮箭漏（图① $)$ 出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校 $STEAM$ 小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：

【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：

供水时间 $x$ （小时）	0	2	4	6	8
箭尺读数 $y$ （厘米）	6	18	30	42	54

【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间 $x$ ．纵轴表示箭尺读数 $y$ ，描出以表格中数据为坐标的各点．

②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．

【结论应用】应用上述发现的规律估算：

①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？

②如果本次实验记录的开始时间是上午 $8 : 00$ ，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）

图①、图②、图③均是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点 $M$ ，按下列要求作图：

（1）在图①中，连结 $MA$ 、 $MB$ ，使 $MA = MB$ ；

（2）在图②中，连结 $MA$ 、 $MB$ 、 $MC$ ，使 $MA = MB = MC$ ；

（3）在图③中，连结 $MA$ 、 $MC$ ，使 $∠ AMC = 2 ∠ ABC$ ．