某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查-优题课

题文

某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：

频数分布表

学习时间分组	频数	频率
$A$ 组 $(0 ⩽ x < 1)$	9	$m$
$B$ 组 $(1 ⩽ x < 2)$	18	0.3
$C$ 组 $(2 ⩽ x < 3)$	18	0.3
$D$ 组 $(3 ⩽ x < 4)$	$n$	0.2
$E$ 组 $(4 ⩽ x < 5)$	3	0.05

（1）频数分布表中 $m =$ 　　， $n =$ 　　，并将频数分布直方图补充完整；

（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？

（3）已知调查的 $E$ 组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：用样本估计总体列表法与树状图法频数（率）分布表频数（率）分布直方图

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已知自变量 $x$ 与因变量 $y_{1}$ 的对应关系如表呈现的规律．

$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	$\dots$
$y_{1}$	$\dots$	12	11	10	9	8	$\dots$

（1）直接写出函数解析式及其图象与 $x$ 轴和 $y$ 轴的交点 $M$ ， $N$ 的坐标；

（2）设反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象与（1）求得的函数的图象交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点且 $S_{ΔAOB} = 30$ ，求反比例函数解析式；已知 $a \neq 0$ ，点 $(a, y_{2})$ 与 $(a, y_{1})$ 分别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出 $y_{2}$ 与 $y_{1}$ 的大小关系．

如图，一艘船由 $A$ 港沿北偏东 $65 °$ 方向航行 $38 km$ 到 $B$ 港，然后再沿北偏西 $42 °$ 方向航行至 $C$ 港，已知 $C$ 港在 $A$ 港北偏东 $20 °$ 方向．

（1）直接写出 $∠ C$ 的度数；

（2）求 $A$ 、 $C$ 两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）

如图，正方形 $ABCD$ ， $G$ 是 $BC$ 边上任意一点（不与 $B$ 、 $C$ 重合）， $DE ⊥ AG$ 于点 $E$ ， $BF / / DE$ ，且交 $AG$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $AF - BF = EF$ ；

（2）四边形 $BFDE$ 是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点 $G$ 的位置，如不可能，请说明理由．

（1）计算： $| 1 - \sqrt{3} | - \sqrt{2} \times \sqrt{6} + \frac{1}{2 - \sqrt{3}} - {(\frac{2}{3})}^{- 2}$ ；

（2）已知 $m$ 是小于0的常数，解关于 $x$ 的不等式组： $\{\begin{matrix} 4 x - 1 > x - 7 \\ - \frac{1}{4} x < \frac{3}{2} m - 1 \end{matrix}$ ．

如图1，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点 $D$ 为 $y$ 轴上一点，如果直线 $BD$ 与直线 $BC$ 的夹角为 $15 °$ ，求线段 $CD$ 的长度；

（3）如图2，连接 $AC$ ，点 $P$ 在抛物线上，且满足 $∠ PAB = 2 ∠ ACO$ ，求点 $P$ 的坐标．

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