如图所示，二次函数$y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$的图象（记为抛物线$\Gamma )$与$y$轴交于点$C$，与$x$轴分别交于点$A$、$B$，点$A$、$B$的横坐标分别记为$x_1$，$x_2$，且$0<x_1<x_2$．

（1）若$a=c$，$b=-3$，且过点$(1,-1)$，求该二次函数的表达式；

（2）若关于$x$的一元二次方程$a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$的判别式△$=4$．求证：当$b<-\frac{5}{2}$时，二次函数$y_1=a{x}^2+(b+1)x+c$的图象与$x$轴没有交点．

（3）若$A{B}^2=\frac{c^2-2c+6}{c}$，点$P$的坐标为$(-\sqrt{x_0}$，$-1)$，过点$P$作直线$l$垂直于$y$轴，且抛物线的$\Gamma$的顶点在直线$l$上，连接$\mathit{OP}$、$\mathit{AP}$、$\mathit{BP}$，$\mathit{PA}$的延长线与抛物线$\Gamma$交于点$D$，若$\angle \mathit{OPB}=\angle \mathit{DAB}$，求$x_0$的最小值．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 相似三角形的判定与性质 抛物线与x轴的交点 二次函数综合题