如图1，$\odot I$与直线$a$相离，过圆心$I$作直线$a$的垂线，垂足为$H$，且交$\odot I$于$P$、$Q$两点$(Q$在$P$、$H$之间）．我们把点$P$称为$\odot I$关于直线$a$的“远点“，把$\mathit{PQ}·\mathit{PH}$的值称为$\odot I$关于直线$a$的“特征数”．

（1）如图2，在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，点$E$的坐标为$(0,4)$．半径为1的$\odot O$与两坐标轴交于点$A$、$B$、$C$、$D$．

①过点$E$画垂直于$y$轴的直线$m$，则$\odot O$关于直线$m$的“远点”是点　　（填“$A$”．“ $B$”、“ $C$”或“$D$” $)$，$\odot O$关于直线$m$的“特征数”为　　；

②若直线$n$的函数表达式为$y=\sqrt{3}x+4$．求$\odot O$关于直线$n$的“特征数”；

（2）在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，直线$l$经过点$M(1,4)$，点$F$是坐标平面内一点，以$F$为圆心，$\sqrt{2}$为半径作$\odot F$．若$\odot F$与直线$l$相离，点$N(-1,0)$是$\odot F$关于直线$l$的“远点”．且$\odot F$关于直线$l$的“特征数”是$4\sqrt{5}$，求直线$l$的函数表达式．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 一次函数的性质 解直角三角形 圆的综合题