筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）-优题课

题文

筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为 $3 m$ 的筒车 $⊙ O$ 按逆时针方向每分钟转 $\frac{5}{6}$ 圈，筒车与水面分别交于点 $A$ 、 $B$ ，筒车的轴心 $O$ 距离水面的高度 $OC$ 长为 $2.2 m$ ，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒 $P$ 刚浮出水面时开始计算时间．

（1）经过多长时间，盛水筒 $P$ 首次到达最高点？

（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒 $P$ 距离水面多高？

（3）若接水槽 $MN$ 所在直线是 $⊙ O$ 的切线，且与直线 $AB$ 交于点 $M$ ， $MO = 8 m$ ．求盛水筒 $P$ 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线 $MN$ 上．

（参考数据： $\cos 43 ° = \sin 47 ° \approx \frac{11}{15}$ ， $\sin 16 ° = \cos 74 ° \approx \frac{11}{40}$ ， $\sin 22 ° = \cos 68 ° \approx \frac{3}{8})$

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形的应用

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我市自开展“学习新思想，做好接班人”主题阅读活动以来，受到各校的广泛关注和同学们的积极响应，某校为了解全校学生主题阅读的情况，随机抽查了部分学生在某一周主题阅读文章的篇数，并制成下列统计图表．

某校抽查的学生文章阅读的篇数统计表

文章阅读的篇数（篇 $)$	3	4	5	6	7及以上
人数（人 $)$	20	28	$m$	16	12

请根据统计图表中的信息，解答下列问题：

（1）求被抽查的学生人数和 $m$ 的值；

（2）求本次抽查的学生文章阅读篇数的中位数和众数；

（3）若该校共有800名学生，根据抽查结果，估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为4篇的人数．

已知抛物线 $y = 2 x^{2} - 4 x + c$ 与 $x$ 轴有两个不同的交点．

（1）求 $c$ 的取值范围；

（2）若抛物线 $y = 2 x^{2} - 4 x + c$ 经过点 $A (2, m)$ 和点 $B (3, n)$ ，试比较 $m$ 与 $n$ 的大小，并说明理由．

化简： ${(a + b)}^{2} - b (2 a + b)$ ．

计算： ${(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \times 8$ ．

如图，已知锐角三角形 $ABC$ 内接于圆 $O$ ， $OD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，连接 $OA$ ．

（1）若 $∠ BAC = 60 °$ ，

①求证： $OD = \frac{1}{2} OA$ ．

②当 $OA = 1$ 时，求 $ΔABC$ 面积的最大值．

（2）点 $E$ 在线段 $OA$ 上， $OE = OD$ ，连接 $DE$ ，设 $∠ ABC = m ∠ OED$ ， $∠ ACB = n ∠ OED (m$ ， $n$ 是正数），若 $∠ ABC < ∠ ACB$ ，求证： $m - n + 2 = 0$ ．

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