问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B∠C90°，P是BC-优题课

问题1：如图①，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $P$ 是 $BC$ 上一点， $PA = PD$ ， $∠ APD = 90 °$ ．求证： $AB + CD = BC$ ．

问题2：如图②，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ B = ∠ C = 45 °$ ， $P$ 是 $BC$ 上一点， $PA = PD$ ， $∠ APD = 90 °$ ．求 $\frac{AB + CD}{BC}$ 的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：全等三角形的判定与性质等腰直角三角形

（1）计算： $（ \frac{1}{2} ）^{﹣ 1} ﹣ 2 \tan 45 ° +$ $|1 - \sqrt{2}|$ ；

（2）先化简 $(\frac{a}{a^{2} - 4} + \frac{1}{2 - a})$ $\div \frac{2 a + 4}{a^{2} + 4 a + 4}$ ，再求值，其中 $a = \sqrt{3} + 2$ ．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y ＝ x^{2} ﹣ b x$ （b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．

（1）求该抛物线对应的函数表达式；

（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标；

（3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；

（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为 $\frac{3}{4}$ 时，直接写出m的值．

如图，在▱ABCD中， $A B ＝ 4$ ， $A D ＝ B D = \sqrt{13}$ ，点M为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线 $A D ﹣ D B$ 以每秒 $\sqrt{13}$ 个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点 $A `$ ，连结 $A ` P$ 、 $A ` M$ ．设点P的运动时间为t秒，

（1）点D到边AB的距离为　　；

（2）用含t的代数式表示线段DP的长；

（3）连结 $A ` D$ ，当线段 $A ` D$ 最短时，求 $△ D P A `$ 的面积；

（4）当 $M$ 、 $A `$ 、 $C$ 三点共线时，直接写出t的值．

【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中 $A D = \sqrt{2} A B$ ．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想 $△ A D G ≌ △ A F G$ ．

【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴ $∠ B A D ＝ ∠ B ＝ ∠ C ＝ ∠ D ＝ 90 °$ ．

由折叠可知， $∠ B A F = \frac{1}{2} ∠ B A D ＝ 45 °$ ， $∠ B F A ＝ ∠ E F A$ ．

∴ $∠ E F A ＝ ∠ B F A ＝ 45 °$ ．

∴ $A F = \sqrt{2} A B = A D$

请你补全余下的证明过程．

【结论应用】

（1）∠DAG的度数为　　度， $\frac{FG}{AF}$ 的值为　　；

（2）在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP $= \frac{1}{2}$ AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②．设 $A B ＝ a$ ，则 $F Q + P Q$ 的最小值为　　．（用含a的代数式表示）

已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．

（1）m＝　　，n＝　　；

（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；

（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．