如图，等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 的边长为3，点 $D$ 在边 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{AD}=\frac{1}{2}$ ，线段 $\mathit{PQ}$ 在边 $\mathit{BA}$ 上运动， $\mathit{PQ}=\frac{1}{2}$ ，有下列结论：

① $\mathit{CP}$ 与 $\mathit{QD}$ 可能相等；

② $\mathit{\Delta AQD}$ 与 $\mathit{\Delta BCP}$ 可能相似；

③四边形 $\mathit{PCDQ}$ 面积的最大值为 $\frac{31\sqrt{3}}{16}$ ；

④四边形 $\mathit{PCDQ}$ 周长的最小值为 $3+\frac{\sqrt{37}}{2}$ ．

其中，正确结论的序号为 $($ 　　 $)$

A．

①④

B．

②④

C．

①③

D．

②③

科目 数学   题型 选择题   难度 中等

知识点： 一次函数的性质 解直角三角形 相似三角形的判定与性质 轴对称-最短路线问题