在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle \mathit{BAC}=\alpha$ ，点 $P$ 为线段 $\mathit{CA}$ 延长线上一动点，连接 $\mathit{PB}$ ，将线段 $\mathit{PB}$ 绕点 $P$ 逆时针旋转，旋转角为 $\alpha$ ，得到线段 $\mathit{PD}$ ，连接 $\mathit{DB}$ ， $\mathit{DC}$ ．

（1）如图1，当 $\alpha =60°$ 时，

①求证： $\mathit{PA}=\mathit{DC}$ ；

②求 $\angle \mathit{DCP}$ 的度数；

（2）如图2，当 $\alpha =120°$ 时，请直接写出 $\mathit{PA}$ 和 $\mathit{DC}$ 的数量关系．

（3）当 $\alpha =120°$ 时，若 $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BP}=\sqrt{31}$ ，请直接写出点 $D$ 到 $\mathit{CP}$ 的距离为 　　．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 解直角三角形 相似三角形的判定与性质 几何变换综合题 全等三角形的判定与性质