如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D-优题课

如图，以Rt△ ABC的直角边 AB为直径的⊙ O交斜边 AC于点 D，过点 D作⊙ O的切线与 BC交于点 E，弦 DM与 AB垂直，垂足为 H．

（1）求证： E为 BC的中点；

（2）若⊙ O的面积为12π，两个三角形△ AHD和△ BMH的外接圆面积之比为3，求△ DEC的内切圆面积 S ₁和四边形 OBED的外接圆面积 S ₂的比．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的外接圆与外心三角形的内切圆与内心圆的综合题

如图，在 $ΔABC$ 中， $AC = BC$ ， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 是 $AB$ 的中点， $DE ⊥ DF$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $AC$ ， $BC$ 上，求证： $DE = DF$ ．

如图，二次函数 $y = - x^{2} + 3 x + m$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B (4, 0)$ ，另一个交点为 $A$ ，且与 $y$ 轴相交于 $C$ 点．

（1）求 $m$ 的值及 $C$ 点坐标；

（2）在直线 $BC$ 上方的抛物线上是否存在一点 $M$ ，使得它与 $B$ ， $C$ 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时 $M$ 点坐标；若不存在，请简要说明理由；

（3） $P$ 为抛物线上一点，它关于直线 $BC$ 的对称点为 $Q :$

①当四边形 $PBQC$ 为菱形时，求点 $P$ 的坐标；

②点 $P$ 的横坐标为 $t (0 < t < 4)$ ，当 $t$ 为何值时，四边形 $PBQC$ 的面积最大，请说明理由．

求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法 $- -$ 更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．

例如：求91与56的最大公约数

解：

请用以上方法解决下列问题：

（1）求108与45的最大公约数；

（2）求三个数78、104、143的最大公约数．

我州某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗600条，甲种鱼苗每条16元，乙种鱼苗每条20元，相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率为 $80 %$ ， $90 %$

（1）若购买这两种鱼苗共用去11000元，则甲、乙两种鱼苗各购买多少条？

（2）若要使这批鱼苗的总成活率不低于 $85 %$ ，则乙种鱼苗至少购买多少条？

（3）在（2）的条件下，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的总费用最低？最低费用是多少？

2016年黔西南州教育局组织全州中小学生参加全省安全知识网络竞赛，在全州安全知识竞赛结束后，通过网上查询，某校一名班主任对本班成绩（成绩取整数，满分100分）作了统计分析，绘制成如下频数分布表和频数分布直方图，请你根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）频数分布表中 $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　

（2）补全频数分布直方图

（3）为了激励学生增强安全意识，班主任准备从超过90分的学生中选2人介绍学习经验，那么取得100分的小亮和小华同时被选上的概率是多少？请用列表法或画树状图加以说明，并列出所有等可能结果．

频数分布表

分组（分 $)$	频数	频率
$50 < x$ 60	2	0.04
$60 < x$ 70	12	$a$
$70 < x < 80$	$b$	0.36
$80 < x$ 90	14	0.28
$90 < x$ 100	$c$	0.08
合计	50	1