如图，抛物线y＝ax2bx53经过点A（1，0）和点B（5，-优题课

题文

如图，抛物线 $y ＝ a x^{2} + bx - \frac{5}{3}$ 经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；

（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

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稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障，为了解粮食产量情况，小明查阅相关资料得到如下信息：长春市2020年的粮食总产量达到960万吨，比上年增长约 $9 %$ ．其中玉米产量增长约 $12 %$ ，水稻产量下降约 $2 %$ ，其他农作物产量下降约 $10 %$ ．

根据以上信息回答下列问题：

（1）2020年玉米产量比2019年玉米产量多　　万吨．

（2）扇形统计图中 $n$ 的值为　　．

（3）计算2020年水稻的产量．

（4）小明发现如果这样计算2020年粮食总产量的年增长率： $\frac{12 % + (- 2 %) + (- 10 %)}{3} = 0$ ，就与2020年粮食总产量比上年增长约 $9 %$ 不符，请说明原因．

如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$ ， $AC = 4$ ， $BD = 8$ ，点 $E$ 在边 $AD$ 上， $AE = \frac{1}{3} AD$ ，连结 $BE$ 交 $AC$ 于点 $M$ ．

（1）求 $AM$ 的长．

（2） $\tan ∠ MBO$ 的值为　　．

为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同．求每千克有机大米的售价为多少元？

在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同．小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．

先化简，再求值： $(a + 2) (a - 2) + a (1 - a)$ ，其中 $a = \sqrt{5} + 4$ ．