如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，-优题课

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且 $∠ BAC ＝ ∠ CAD$ ．

（1）求证：直线MN是⊙O的切线；

（2）若 $CD ＝ 3$ ， $∠ CAD ＝ 30 °$ ，求⊙O的半径．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆周角定理相似三角形的判定与性质切线的判定

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AC$ 是直径， $BC = BA$ ，在 $∠ ACB$ 的内部作 $∠ ACF = 30 °$ ，且 $CF = CA$ ，过点 $F$ 作 $FH ⊥ AC$ 于点 $H$ ，连接 $BF$ ．

（1）若 $CF$ 交 $⊙ O$ 于点 $G$ ， $⊙ O$ 的半径是4，求 $\hat{AG}$ 的长；

（2）请判断直线 $BF$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由．

“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数 $y$ （张 $)$ 与电影票售价 $x$ （元 $/$ 张）之间满足一次函数关系： $y = - 4 x + 220 (10 ⩽ x ⩽ 50$ ，且 $x$ 是整数），设影城每天的利润为 $w$ （元 $)$ （利润 $=$ 票房收入 $-$ 运营成本）．

（1）试求 $w$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）影城将电影票售价定为多少元 $/$ 张时，每天获利最大？最大利润是多少元？

如图，直线 $y = 3 x$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 交于点 $A$ ，点 $A$ 的横坐标是1．

（1）求点 $A$ 的坐标及双曲线的解析式；

（2）点 $B$ 是双曲线上一点，且点 $B$ 的纵坐标是1，连接 $OB$ ， $AB$ ，求 $ΔAOB$ 的面积．

在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将玫瑰每枝降价1元促销，降价后30元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的1.5倍．

（1）求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？

（2）根据销售情况，店主用不多于900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元 $/$ 枝，玫瑰进价为1.5元 $/$ 枝，问至少购进玫瑰多少枝？

随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次统计共抽查了　　名学生；在扇形统计图中，表示“ $QQ$ ”的扇形圆心角的度数为　　；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？

（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“ $QQ$ ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．

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