如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解-优题课

如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ， $CB = CD$ ，问四边形 $ABCD$ 是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 交于点 $O$ ， $AC ⊥ BD$ ．试证明： $A B^{2} + C D^{2} = A D^{2} + B C^{2}$ ；

（3）解决问题：如图3，分别以 $Rt Δ ACB$ 的直角边 $AC$ 和斜边 $AB$ 为边向外作正方形 $ACFG$ 和正方形 $ABDE$ ，连接 $CE$ 、 $BG$ 、 $GE$ ．已知 $AC = 4$ ， $AB = 5$ ，求 $GE$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：正方形的性质四边形综合题

如图，建筑物 $AB$ 的高为52米，在其正前方广场上有人进行航模试飞．从建筑物顶端 $A$ 处测得航模 $C$ 的俯角 $α = 30 °$ ，同一时刻从建筑物的底端 $B$ 处测得航模 $C$ 的仰角 $β = 45 °$ ，求此时航模 $C$ 的飞行高度．（精确到1米）

（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{6} \approx 2.45)$

为加强未成年人思想道德建设．某校在学生中开展了“日行一孝”活动．活动设置了四个爱心项目： $A$ 项 $-$ 我为父母过生日， $B$ 项 $-$ 我为父母洗洗脚， $C$ 项 $-$ 我当一天小管家， $D$ 项 $-$ 我与父母谈谈心，要求每个学生必须且只能选择一项参加．为了解全校参加各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：

（1）这次抽样调查的样本容量是　　，补全图1中的条形统计图．

（2）在图2的扇形统计图中， $B$ 项所占的百分比为 $m %$ ，则 $m$ 的值为　　， $C$ 项所在扇形的圆心角 $α$ 的度数为　　度．

（3）该校参加活动的学生共1200人，请估计该校参加 $D$ 项的学生有多少人？

在创建“文明校园”活动中，某校有2名男生和3名女生被评为学校“文明学生”．现要从这5名学生中选拔“学校文明礼仪值周岗”的值周生．

（1）从这5名学生中随机选拔1人值周，恰好选到男生的概率是　　．

（2）从这5名学生中随机选拔2人值周，请用树状图或列表法求出恰好选到1个男生和1个女生的概率．

如图， $ΔABC$ 与 $ΔCDE$ 是等边三角形，连接 $AD$ ，取 $AD$ 的中点 $P$ ，连接 $BP$ 并延长至点 $M$ ，使 $PM = BP$ ，连接 $AM$ ， $EM$ ， $AE$ ，将 $ΔCDE$ 绕点 $C$ 顺时针旋转．

（1）如图1，当点 $D$ 在 $BC$ 上，点 $E$ 在 $AC$ 上时，则 $ΔAEM$ 的形状为　　；

（2）将 $ΔCDE$ 绕点 $C$ 顺时针旋转至图2的位置，请判断 $ΔAEM$ 的形状，并说明理由；

（3）若 $CD = \frac{1}{2} BC$ ，将 $ΔCDE$ 由图1位置绕点 $C$ 顺时针旋转 $α (0 ° ⩽ α < 360 °)$ ，当 $ME = \sqrt{3} CD$ 时，请直接写出 $α$ 的值．

铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 $y$ （千克）与每千克降价 $x$ （元 $) (0 < x < 20)$ 之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

（3）该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？