以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点，AC所在的直线为x轴-优题课

请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德折弦定理

阿基米德 $(archimedes$ ，公元前 $287 -$ 公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．

阿拉伯 $Al - Binmi (973 - 1050$ 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据 $Al - Binmi$ 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1， $AB$ 和 $BC$ 是 $⊙ O$ 的两条弦（即折线 $ABC$ 是圆的一条折弦）， $BC > AB$ ， $M$ 是 $\hat{ABC}$ 的中点，则从 $M$ 向 $BC$ 所作垂线的垂足 $D$ 是折弦 $ABC$ 的中点，即 $CD = AB + BD$ ．下面是运用"截长法"证明 $CD = AB + BD$ 的部分证明过程．证明：如图2，在 $CB$ 上截取 $CG = AB$ ，连接 $MA$ ， $MB$ ， $MC$ 和 $MG$ ．

$∵ M$ 是 $\hat{ABC}$ 的中点，

$∴ MA = MC$ ．

$\dots$

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图3，已知等边 $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AB = 2$ ， $D$ 为 $\hat{AC}$ 上一点， $∠ ABD = 45 °$ ， $AE ⊥ BD$ 于点 $E$ ，则 $ΔBDC$ 的周长是　．

每年5月的第二周为"职业教育活动周"，今年我省开展了以"弘扬工匠精神，打造技能强国"为主题的系列活动．活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加"职教体验观摩"活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校教务处随机抽取了部分学生进行调查："你最感兴趣的一种职业技能是什么？"并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．请解答以下问题：

（1）补全条形统计图和扇形统计图；

（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对"工业设计"最感兴趣的学生有多少人？

（3）要从这些被调查的学生中，随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对"机电维修"最感兴趣的学生的概率是　　．

解方程： $2 {(x - 3)}^{2} = x^{2} - 9$ ．

如图1， $AD$ 、 $BD$ 分别是 $ΔABC$ 的内角 $∠ BAC$ 、 $∠ ABC$ 的平分线，过点 $A$ 作 $AE ⊥ AD$ ，交 $BD$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $∠ E = = \frac{1}{2} ∠ C$ ；

（2）如图2，如果 $AE = AB$ ，且 $BD : DE = 2 : 3$ ，求 $\cos ∠ ABC$ 的值；

（3）如果 $∠ ABC$ 是锐角，且 $ΔABC$ 与 $ΔADE$ 相似，求 $∠ ABC$ 的度数，并直接写出 $\frac{S_{ΔADE}}{S_{ΔABC}}$ 的值．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中（如图），已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ ，其顶点为 $A$ ．

（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点 $A$ 的坐标，并说明它的变化情况；

（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．

①试求抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ 的“不动点”的坐标；

②平移抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ ，使所得新抛物线的顶点 $B$ 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与 $x$ 轴交于点 $C$ ，且四边形 $OABC$ 是梯形，求新抛物线的表达式．