黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们-优题课

黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线 $BCD)$ 恰好落在水平地面和斜坡上，在 $D$ 处测得电线杆顶端 $A$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $C$ 处测得电线杆顶端 $A$ 得仰角为 $45 °$ ，斜坡与地面成 $60 °$ 角， $CD = 4 m$ ，请你根据这些数据求电线杆的高 $(AB)$ ．

（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7)$

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$ ，且 $AC = BD$ ，连接 $AD$ ， $BC$ ．

（1）求证： $ΔADB ≅ ΔBCA$ ；

（2）若 $OD ⊥ AC$ ， $AB = 4$ ，求弦 $AC$ 的长；

（3）在（2）的条件下，延长 $AB$ 至点 $P$ ，使 $BP = 2$ ，连接 $PC$ ．求证： $PC$ 是 $⊙ O$ 的切线．

将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点 $A$ 旋转，连接 $BC$ ， $DE$ ．探究 $S_{ΔABC}$ 与 $S_{ΔADE}$ 的比是否为定值．

（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时， $S_{ΔABC} : S_{ΔADE}$ 是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图① $)$

（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有 $30 °$ 角的直角三角板时， $S_{ΔABC} : S_{ΔADE}$ 是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图② $)$

（3）两块三角板中， $∠ BAE + ∠ CAD = 180 °$ ， $AB = a$ ， $AE = b$ ， $AC = m$ ， $AD = n (a$ ， $b$ ， $m$ ， $n$ 为常数）， $S_{ΔABC} : S_{ΔADE}$ 是否为定值？如果是，用含 $a$ ， $b$ ， $m$ ， $n$ 的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③ $)$

某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有 $A$ ， $B$ 两种客车可供租用， $A$ 型客车每辆载客量45人， $B$ 型客车每辆载客量30人．若租用4辆 $A$ 型客车和3辆 $B$ 型客车共需费用10700元；若租用3辆 $A$ 型客车和4辆 $B$ 型客车共需费用10300元．

（1）求租用 $A$ ， $B$ 两型客车，每辆费用分别是多少元；

（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？

电子政务、数字经济、智慧社会 $\dots$ 一场数字革命正在神州大地激荡．在第二届数字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表（不完整） $:$

“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛成绩频数分布统计表

组别	成绩 $x$ （分 $)$	人数
$A$	$60 ⩽ x < 70$	10
$B$	$70 ⩽ x < 80$	$m$
$C$	$80 ⩽ x < 90$	16
$D$	$90 ⩽ x ⩽ 100$	4

请观察上面的图表，解答下列问题：

（1）统计表中 $m =$ 　　；统计图中 $n =$ 　　， $D$ 组的圆心角是　　度．

（2） $D$ 组的4名学生中，有2名男生和2名女生．从 $D$ 组随机抽取2名学生参加 $5 G$ 体验活动，请你画出树状图或用列表法求：

①恰好1名男生和1名女生被抽取参加 $5 G$ 体验活动的概率；

②至少1名女生被抽取参加 $5 G$ 体验活动的概率．

某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚 $B$ 到山腰 $D$ 沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从 $D$ 到 $A$ 修建电动扶梯，经测量，山高 $AC = 154$ 米，步行道 $BD = 168$ 米， $∠ DBC = 30 °$ ，在 $D$ 处测得山顶 $A$ 的仰角为 $45 °$ ．求电动扶梯 $DA$ 的长（结果保留根号）．