如图，已知直角坐标系中， $A$、 $B$、 $D$三点的坐标分别为 $A(8,0)$， $B(0,4)$， $D(-1,0)$，点 $C$与点 $B$关于 $x$轴对称，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$．

（1）求过 $A$、 $B$、 $D$三点的抛物线的解析式；

（2）有一动点 $E$从原点 $O$出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点 $E$作 $x$轴的垂线，交抛物线于点 $P$，交线段 $\mathit{CA}$于点 $M$，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$，设点 $E$运动的时间为 $t(0<t<4)$秒，求四边形 $\mathit{PBCA}$的面积 $S$与 $t$的函数关系式，并求出四边形 $\mathit{PBCA}$的最大面积；

（3）抛物线的对称轴上是否存在一点 $H$，使得 $\mathit{\Delta ABH}$是直角三角形？若存在，请直接写出点 $H$的坐标；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数综合题