如图，已知抛物线yax2bxc(a≠0)的对称轴为直线x−1-优题课

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = - 1$ ，且抛物线与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，其中 $A (1, 0)$ ， $C (0, 3)$ ．

（1）若直线 $y = mx + n$ 经过 $B$ 、 $C$ 两点，求直线 $BC$ 和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴 $x = - 1$ 上找一点 $M$ ，使点 $M$ 到点 $A$ 的距离与到点 $C$ 的距离之和最小，求出点 $M$ 的坐标；

（3）设点 $P$ 为抛物线的对称轴 $x = - 1$ 上的一个动点，求使 $ΔBPC$ 为直角三角形的点 $P$ 的坐标．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

如图，点 $P$ 为正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上的一点，连接 $BP$ 并延长交 $CD$ 于点 $E$ ，交 $AD$ 的延长线于点 $F$ ， $⊙ O$ 是 $ΔDEF$ 的外接圆，连接 $DP$ ．

（1）求证： $DP$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\tan ∠ PDC = \frac{1}{2}$ ，正方形 $ABCD$ 的边长为4，求 $⊙ O$ 的半径和线段 $OP$ 的长．

某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价 $y$ （元 $)$ 与一次性批发量 $x$ （件 $) (x$ 为正整数）之间满足如图所示的函数关系．

（1）直接写出 $y$ 与 $x$ 之间所满足的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？

小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆 $DE$ ，箱长 $BC$ ，拉杆 $AB$ 的长度都相等，即 $DE = BC = AB$ ， $B$ ， $F$ 在 $AC$ 上， $C$ 在 $DE$ 上，支杆 $DF = 30 cm$ ， $CE : CD = 1 : 3$ ， $∠ DCF = 45 °$ ， $∠ CDF = 30 °$ ，请根据以上信息，解决下列问题．

（1）求 $AC$ 的长度（结果保留根号）；

（2）求拉杆端点 $A$ 到水平滑杆 $ED$ 的距离（结果保留根号）．

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AB / / CD$ ， $AD ⊥ CD$ ， $∠ B = 45 °$ ，延长 $CD$ 到点 $E$ ，使 $DE = DA$ ，连接 $AE$ ．

（1）求证： $AE = BC$ ；

（2）若 $AB = 3$ ， $CD = 1$ ，求四边形 $ABCE$ 的面积．

某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团： $A$ ．机器人， $B$ ．围棋， $C$ ．羽毛球， $D$ ．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中 $A$ 所占扇形的圆心角为 $36 °$ ．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有　　人；

（2）请你将条形统计图补充完整；

（3）若该校共有1000名学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团；

（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．