抛物线 $y=-x^2+4\mathit{ax}+b(a>0)$与 $x$轴相交于 $O$、 $A$两点（其中 $O$为坐标原点），过点 $P(2,2a)$作直线 $\mathit{PM}\perp x$轴于点 $M$，交抛物线于点 $B$，点 $B$关于抛物线对称轴的对称点为 $C$（其中 $B$、 $C$不重合），连接 $\mathit{AP}$交 $y$轴于点 $N$，连接 $\mathit{BC}$和 $\mathit{PC}$．

（1） $a=\frac{3}{2}$时，求抛物线的解析式和 $\mathit{BC}$的长；

（2）如图 $a>1$时，若 $\mathit{AP}\perp \mathit{PC}$，求 $a$的值；

（3）是否存在实数 $a$，使 $\frac{\mathit{AP}}{\mathit{PN}}=\frac{1}{2}$？若存在，求出 $a$的值，如不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 相似三角形的判定与性质 二次函数综合题