如图，抛物线 $y=m{x}^2-16\mathit{mx}+48m(m>0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $B$在点 $A$左侧），与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AD}$，延长 $\mathit{AD}$交 $y$轴于点 $E$．

（1）若 $\mathit{\Delta OAC}$为等腰直角三角形，求 $m$的值；

（2）若对任意 $m>0$， $C$、 $E$两点总关于原点对称，求点 $D$的坐标（用含 $m$的式子表示）；

（3）当点 $D$运动到某一位置时，恰好使得 $\angle \mathit{ODB}=\angle \mathit{OAD}$，且点 $D$为线段 $\mathit{AE}$的中点，此时对于该抛物线上任意一点 $P(x_0$， $y_0)$总有 $n+\frac{1}{6}⩾-4\sqrt{3}m{y}_0^2-12\sqrt{3}{y}_0-50$成立，求实数 $n$的最小值．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式 二次函数综合题 等腰直角三角形