在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,3)$，顶点为 $G$．

（1）求抛物线和直线 $\mathit{AC}$的解析式；

（2）如图1，设 $E(m,0)$为 $x$轴上一动点，若 $\mathit{\Delta CGE}$和 $\mathit{\Delta CGO}$的面积满足 $S_{\mathit{\Delta CGE}}=\frac{4}{3}{S}_{\mathit{\Delta CGO}}$，求点 $E$的坐标；

（3）如图2，设点 $P$从点 $A$出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $x$轴向右运动，运动时间为 $\mathit{ts}$，点 $M$为射线 $\mathit{AC}$上一动点，过点 $M$作 $\mathit{MN}//x$轴交抛物线对称轴右侧部分于点 $N$．试探究点 $P$在运动过程中，是否存在以 $P$， $M$， $N$为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数综合题