抚顺市某校想知道学生对遥远的赫图阿拉，旗袍故里等家乡旅游品牌-优题课

抚顺市某校想知道学生对“遥远的赫图阿拉”，“旗袍故里”等家乡旅游品牌的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必选且只选一项） $A$ ．十分了解， $B$ ．了解较多， $C$ ．了解较少， $D$ ．不知道．将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）本次调查了多少名学生？

（2）补全条形统计图；

（3）该校共有500名学生，请你估计“十分了解”的学生有多少名？

（4）在被调查“十分了解”的学生中有四名学生会干部，他们中有3名男生和1名女生，学校想从这4人中任选两人做家乡旅游品牌宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：用样本估计总体列表法与树状图法扇形统计图条形统计图

如图， $PA$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点为 $A$ ， $AC$ 是 $⊙ O$ 的直径，连接 $OP$ 交 $⊙ O$ 于 $E$ ．过 $A$ 点作 $AB ⊥ PO$ 于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于 $B$ ，连接 $BC$ ， $PB$ ．

（1）求证： $PB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $E$ 为 $ΔPAB$ 的内心；

（3）若 $\cos ∠ PAB = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $BC = 1$ ，求 $PO$ 的长．

为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度 $AB$ ，他站在距离教学楼底部 $E$ 处6米远的地面 $C$ 处，测得宣传牌的底部 $B$ 的仰角为 $60 °$ ，同时测得教学楼窗户 $D$ 处的仰角为 $30 ° (A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一直线上）．然后，小明沿坡度 $i = 1 : 1.5$ 的斜坡从 $C$ 走到 $F$ 处，此时 $DF$ 正好与地面 $CE$ 平行．

（1）求点 $F$ 到直线 $CE$ 的距离（结果保留根号）；

（2）若小明在 $F$ 处又测得宣传牌顶部 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，求宣传牌的高度 $AB$ （结果精确到0.1米， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$ ．

已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + 2 k - 1 = 0$ 有实数根．

（1）求 $k$ 的取值范围；

（2）设方程的两根分别是 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = x_{1} \cdot x_{2}$ ，试求 $k$ 的值．

某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

类别	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
类型	新闻	体育	动画	娱乐	戏曲
人数	11	20	40	$m$	4

请你根据以上信息，回答下列问题：

（1）统计表中 $m$ 的值为　　，统计图中 $n$ 的值为　　， $A$ 类对应扇形的圆心角为　　度；

（2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；

（3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．

如图，矩形 $ABCD$ 中， $AB = 8$ ， $AD = 6$ ，点 $O$ 是对角线 $BD$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别交 $AB$ 、 $CD$ 边于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证：四边形 $DEBF$ 是平行四边形；

（2）当 $DE = DF$ 时，求 $EF$ 的长．