在平面直角坐标系中，直线 $y=\frac{1}{2}x-2$与 $x$轴交于点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过 $B$， $C$两点，且与 $x$轴的负半轴交于点 $A$，动点 $D$在直线 $\mathit{BC}$下方的二次函数图象上．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，连接 $\mathit{DC}$， $\mathit{DB}$，设 $\mathit{\Delta BCD}$的面积为 $S$，求 $S$的最大值；

（3）如图2，过点 $D$作 $\mathit{DM}\perp \mathit{BC}$于点 $M$，是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta CDM}$中的某个角恰好等于 $\angle \mathit{ABC}$的2倍？若存在，直接写出点 $D$的横坐标；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数综合题