为了丰富同学们的课余生活，某学校举行亲近大自然户外活动，现随-优题课

（探索发现）

如图①，是一张直角三角形纸片， $∠ B = 90 °$ ，小明想从中剪出一个以 $∠ B$ 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 $DE$ 、 $EF$ 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　　．

（拓展应用）

如图②，在 $ΔABC$ 中， $BC = a$ ， $BC$ 边上的高 $AD = h$ ，矩形 $PQMN$ 的顶点 $P$ 、 $N$ 分别在边 $AB$ 、 $AC$ 上，顶点 $Q$ 、 $M$ 在边 $BC$ 上，则矩形 $PQMN$ 面积的最大值为　　．（用含 $a$ ， $h$ 的代数式表示）

（灵活应用）

如图③，有一块“缺角矩形” $ABCDE$ ， $AB = 32$ ， $BC = 40$ ， $AE = 20$ ， $CD = 16$ ，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（ $∠ B$ 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

（实际应用）

如图④，现有一块四边形的木板余料 $ABCD$ ，经测量 $AB = 50 cm$ ， $BC = 108 cm$ ， $CD = 60 cm$ ，且 $\tan B = \tan C = \frac{4}{3}$ ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 $M$ 、 $N$ 在边 $BC$ 上且面积最大的矩形 $PQMN$ ，求该矩形的面积．

如图，在平面直角坐标系中， $Rt Δ ABC$ 的斜边 $AB$ 在 $y$ 轴上，边 $AC$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ ， $AE$ 平分 $∠ BAC$ 交边 $BC$ 于点 $E$ ，经过点 $A$ 、 $D$ 、 $E$ 的圆的圆心 $F$ 恰好在 $y$ 轴上， $⊙ F$ 与 $y$ 轴相交于另一点 $G$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ F$ 的切线；

（2）若点 $A$ 、 $D$ 的坐标分别为 $A (0, - 1)$ ， $D (2, 0)$ ，求 $⊙ F$ 的半径；

（3）试探究线段 $AG$ 、 $AD$ 、 $CD$ 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元 $/$ 盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元 $/$ 盒．

（1）2014年这种礼盒的进价是多少元 $/$ 盒？

（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？

为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”．

（1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是　　；

（2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率．

先化简，再求值： $\frac{x + 3}{x - 2} \div (x + 2 - \frac{5}{x - 2})$ ，其中 $x = 3 + \sqrt{3}$ ．