小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据-优题课

题文

小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题：

（1）小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？

（2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？

商品名	单价（元 $)$	数量（个 $)$	金额（元 $)$
签字笔	3	2	6
自动铅笔	1.5	●	●
记号笔	4	●	●
软皮笔记本	●	2	9
圆规	3.5	1	●
合计		8	28

科目数学题型计算题难度中等

知识点：二元一次方程的应用二元一次方程组的应用

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如图，二次函数 $y = a x^{2} + bx + 4$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，其对称轴与线段 $BC$ 交于点 $E$ ，垂直于 $x$ 轴的动直线 $l$ 分别交抛物线和线段 $BC$ 于点 $P$ 和点 $F$ ，动直线 $l$ 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿 $x$ 轴正方向移动到 $B$ 点．

（1）求出二次函数 $y = a x^{2} + bx + 4$ 和 $BC$ 所在直线的表达式；

（2）在动直线 $l$ 移动的过程中，试求使四边形 $DEFP$ 为平行四边形的点 $P$ 的坐标；

（3）连接 $CP$ ， $CD$ ，在动直线 $l$ 移动的过程中，抛物线上是否存在点 $P$ ，使得以点 $P$ ， $C$ ， $F$ 为顶点的三角形与 $ΔDCE$ 相似？如果存在，求出点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

（1）解方程： $\frac{x}{x + 2} = \frac{2}{x - 1} + 1$ ．

（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x - 4 > 0 \\ x + 1 ⩽ 4 (x - 2) \end{matrix}$

（1）计算： $2^{- 1} + {(2018 - π)}^{0} - \sin 30 °$

（2）化简： ${(a + 1)}^{2} - a (a + 1) - 1$ ．

对于任意实数 $a$ ， $b$ ，定义关于“ $\otimes$ ”的一种运算如下： $a \otimes b = 2 a + b$ ．例如 $3 \otimes 4 = 2 \times 3 + 4 = 10$ ．

（1）求 $2 \otimes (- 5)$ 的值；

（2）若 $x \otimes (- y) = 2$ ，且 $2 y \otimes x = - 1$ ，求 $x + y$ 的值．

计算或化简

（1） ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + | \sqrt{3} - 2 | + \tan 60 °$

（2） ${(2 x + 3)}^{2} - (2 x + 3) (2 x - 3)$

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