动车的开通为扬州市民的出行带来了方便．从扬州到合肥，路程为3-优题课

动车的开通为扬州市民的出行带来了方便．从扬州到合肥，路程为 $360 km$ ，某趟动车的平均速度比普通列车快 $50 %$ ，所需时间比普通列车少1小时，求该趟动车的平均速度．

科目数学题型计算题难度中等

知识点：分式方程的应用

解不等式 $\frac{4 x - 1}{3} - x > 1$ ，并在数轴上表示解集．

问题情境：如图1，在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 为边 $BC$ 上一点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），垂直于 $AE$ 的一条直线 $MN$ 分别交 $AB$ 、 $AE$ 、 $CD$ 于点 $M$ 、 $P$ 、 $N$ ．判断线段 $DN$ 、 $MB$ 、 $EC$ 之间的数量关系，并说明理由．

问题探究：在“问题情境”的基础上．

（1）如图2，若垂足 $P$ 恰好为 $AE$ 的中点，连接 $BD$ ，交 $MN$ 于点 $Q$ ，连接 $EQ$ ，并延长交边 $AD$ 于点 $F$ ．求 $∠ AEF$ 的度数；

（2）如图3，当垂足 $P$ 在正方形 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 上时，连接 $AN$ ，将 $ΔAPN$ 沿着 $AN$ 翻折，点 $P$ 落在点 $P^{'}$ 处，若正方形 $ABCD$ 的边长为4， $AD$ 的中点为 $S$ ，求 $P^{'} S$ 的最小值．

问题拓展：如图4，在边长为4的正方形 $ABCD$ 中，点 $M$ 、 $N$ 分别为边 $AB$ 、 $CD$ 上的点，将正方形 $ABCD$ 沿着 $MN$ 翻折，使得 $BC$ 的对应边 $B^{'} C^{'}$ 恰好经过点 $A$ ， $C^{'} N$ 交 $AD$ 于点 $F$ ．分别过点 $A$ 、 $F$ 作 $AG ⊥ MN$ ， $FH ⊥ MN$ ，垂足分别为 $G$ 、 $H$ ．若 $AG = \frac{5}{2}$ ，请直接写出 $FH$ 的长．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $L_{1} : y = x^{2} + bx + c$ 过点 $C (0, - 3)$ ，与抛物线 $L_{2} : y = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x + 2$ 的一个交点为 $A$ ，且点 $A$ 的横坐标为2，点 $P$ 、 $Q$ 分别是抛物线 $L_{1}$ 、 $L_{2}$ 上的动点．

（1）求抛物线 $L_{1}$ 对应的函数表达式；

（2）若以点 $A$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 $P$ 的坐标；

（3）设点 $R$ 为抛物线 $L_{1}$ 上另一个动点，且 $CA$ 平分 $∠ PCR$ ．若 $OQ / / PR$ ，求出点 $Q$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，函数 $y = - x + b$ 的图象与函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象相交于点 $A (- 1, 6)$ ，并与 $x$ 轴交于点 $C$ ．点 $D$ 是线段 $AC$ 上一点， $ΔODC$ 与 $ΔOAC$ 的面积比为 $2 : 3$ ．

（1） $k =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）求点 $D$ 的坐标；

（3）若将 $ΔODC$ 绕点 $O$ 逆时针旋转，得到△ $O D^{'} C^{'}$ ，其中点 $D^{'}$ 落在 $x$ 轴负半轴上，判断点 $C^{'}$ 是否落在函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上，并说明理由．

如图，海上观察哨所 $B$ 位于观察哨所 $A$ 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所 $A$ 与哨所 $B$ 同时发现一走私船，其位置 $C$ 位于哨所 $A$ 北偏东 $53 °$ 的方向上，位于哨所 $B$ 南偏东 $37 °$ 的方向上．

（1）求观察哨所 $A$ 与走私船所在的位置 $C$ 的距离；

（2）若观察哨所 $A$ 发现走私船从 $C$ 处以16海里 $/$ 小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东 $76 °$ 的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在 $D$ 处成功拦截．（结果保留根号）

（参考数据： $\sin 37 ° = \cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 37 ° = \sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $\tan 76 ° \approx 4)$