直角在初中几何学习中无处不在．如图，已知∠AOB，请仿照小丽-优题课

“直角”在初中几何学习中无处不在．

如图，已知 $∠ AOB$ ，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断 $∠ AOB$ 是否为直角（仅限用直尺和圆规）．

科目数学题型作图题难度中等

知识点：作图—复杂作图圆周角定理勾股定理的逆定理

如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $ΔOAB$ 的三个顶点 $O (0, 0)$ 、 $A (4, 1)$ 、 $B (4, 4)$ 均在格点上．

（1）画出 $ΔOAB$ 关于 $y$ 轴对称的△ $O A_{1} B_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标；

（2）画出 $ΔOAB$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到的△ $O A_{2} B_{2}$ ，并写出点 $A_{2}$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，求线段 $OA$ 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 $π)$ ．

如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $ΔOAB$ 的三个顶点 $O (0, 0)$ 、 $A (4, 1)$ 、 $B (4, 4)$ 均在格点上．

（1）画出 $ΔOAB$ 关于 $y$ 轴对称的△ $O A_{1} B_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标；

（2）画出 $ΔOAB$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到的△ $O A_{2} B_{2}$ ，并写出点 $A_{2}$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，求线段 $OA$ 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 $π)$ ．

如图，在平面直角坐标系中， $ΔABC$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 4, 1)$ ， $B (- 1, - 1)$ ， $C (- 3, 3)$ ．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）

（1）将 $ΔABC$ 先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ （点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应点分别为点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1})$ ，画出平移后的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）将△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕着坐标原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ （点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的对应点分别为点 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{2})$ ，画出旋转后的△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

（3）求△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 在旋转过程中，点 $C_{1}$ 旋转到点 $C_{2}$ 所经过的路径的长．（结果用含 $π$ 的式子表示）

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， $ΔABC$ 的三个顶点坐标分别为 $A (1, 4)$ ， $B (1, 1)$ ， $C (3, 1)$ ．

（1）画出 $ΔABC$ 关于 $x$ 轴对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

（2）画出 $ΔABC$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 后得到的△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

（3）在（2）的条件下，求点 $A$ 所经过的路径长（结果保留 $π)$ ．

如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段 $AB$ 的两个端点均在小正方形的顶点上．

（1）在图中画出以线段 $AB$ 为一边的矩形 $ABCD$ （不是正方形），且点 $C$ 和点 $D$ 均在小正方形的顶点上；

（2）在图中画出以线段 $AB$ 为一腰，底边长为 $2 \sqrt{2}$ 的等腰三角形 $ABE$ ，点 $E$ 在小正方形的顶点上，连接 $CE$ ，请直接写出线段 $CE$ 的长．