如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OC}$分别在 $x$轴、 $y$轴上，点 $B$坐标为 $(4$， $t\left)\right(t>0)$，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}(b<0)$的图象经过点 $B$，顶点为点 $D$．

（1）当 $t=12$时，顶点 $D$到 $x$轴的距离等于　     　；

（2）点 $E$是二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}(b<0)$的图象与 $x$轴的一个公共点（点 $E$与点 $O$不重合），求 $\mathit{OE}·\mathit{EA}$的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；

（3）矩形 $\mathit{OABC}$的对角线 $\mathit{OB}$、 $\mathit{AC}$交于点 $F$，直线 $l$平行于 $x$轴，交二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}(b<0)$的图象于点 $M$、 $N$，连接 $\mathit{DM}$、 $\mathit{DN}$，当 $\mathit{\Delta DMN}\cong \mathit{\Delta FOC}$时，求 $t$的值．

科目 数学   题型 计算题   难度 中等

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数综合题