在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计-优题课

如图①，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + bx + c$ 的图象与坐标轴交于 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，其中点 $A$ 的坐标为 $(- 3, 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(4, 0)$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，在线段 $AC$ 上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$ 作匀速运动；同时，动点 $Q$ 从点 $O$ 出发，在线段 $OB$ 上以每秒1个单位长度的速度向点 $B$ 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 $t$ 秒．连接 $PQ$ ．

（1）填空： $b =$ 　　， $c =$ 　　；

（2）在点 $P$ ， $Q$ 运动过程中， $ΔAPQ$ 可能是直角三角形吗？请说明理由；

（3）在 $x$ 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点 $M$ ，使 $ΔPQM$ 是以点 $P$ 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间 $t$ ；若不存在，请说明理由；

（4）如图②，点 $N$ 的坐标为 $(- \frac{3}{2}$ ， $0)$ ，线段 $PQ$ 的中点为 $H$ ，连接 $NH$ ，当点 $Q$ 关于直线 $NH$ 的对称点 $Q'$ 恰好落在线段 $BC$ 上时，请直接写出点 $Q'$ 的坐标．

（操作发现）

如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， $ΔABC$ 的三个顶点均在格点上．

（1）请按要求画图：将 $ΔABC$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ ，点 $B$ 的对应点为 $B'$ ，点 $C$ 的对应点为 $C'$ ，连接 $BB'$ ；

（2）在（1）所画图形中， $∠ AB' B =$ 　　．

（问题解决）

如图②，在等边三角形 $ABC$ 中， $AC = 7$ ，点 $P$ 在 $ΔABC$ 内，且 $∠ APC = 90 °$ ， $∠ BPC = 120 °$ ，求 $ΔAPC$ 的面积．

小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：

想法一：将 $ΔAPC$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $60 °$ ，得到△ $AP' B$ ，连接 $PP'$ ，寻找 $PA$ ， $PB$ ， $PC$ 三条线段之间的数量关系；

想法二：将 $ΔAPB$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $60 °$ ，得到△ $AP' C'$ ，连接 $PP'$ ，寻找 $PA$ ， $PB$ ， $PC$ 三条线段之间的数量关系．

$\dots$

请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）

（灵活运用）

如图③，在四边形 $ABCD$ 中， $AE ⊥ BC$ ，垂足为 $E$ ， $∠ BAE = ∠ ADC$ ， $BE = CE = 2$ ， $CD = 5$ ， $AD = kAB (k$ 为常数），求 $BD$ 的长（用含 $k$ 的式子表示）．

某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线 $ABCD$ 表示人均收费 $y$ （元）与参加旅游的人数 $x$ （人）之间的函数关系．

（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为　　元；

（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？

$A$ ， $B$ 两地被大山阻隔，若要从 $A$ 地到 $B$ 地，只能沿着如图所示的公路先从 $A$ 地到 $C$ 地，再由 $C$ 地到 $B$ 地．现计划开凿隧道 $A$ ， $B$ 两地直线贯通，经测量得： $∠ CAB = 30 °$ ， $∠ CBA = 45 °$ ， $AC = 20 km$ ，求隧道开通后与隧道开通前相比，从 $A$ 地到 $B$ 地的路程将缩短多少？（结果精确到 $0.1 km$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$

解不等式组： $\{\begin{matrix} 3 x - 1 < x + 5 \\ \frac{x - 3}{2} < x - 1 \end{matrix}$ 并写出它的整数解．

跑道宽度 $/$ 米	0	1	2	3	4	5	$\dots$
跑道周长 $/$ 米	400						$\dots$