在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐-优题课

在平面直角坐标系中，平行四边形 $ABOC$ 如图放置，点 $A$ 、 $C$ 的坐标分别是 $(0, 4)$ 、 $(- 1, 0)$ ，将此平行四边形绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到平行四边形 $A' B' OC'$ ．

（1）若抛物线经过点 $C$ 、 $A$ 、 $A'$ ，求此抛物线的解析式；

（2）在（1）的情况下，点 $M$ 是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 $M$ 在何处时， $ΔAMA'$ 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 $M$ 的坐标；

（3）在（1）的情况下，若 $P$ 为抛物线上一动点， $N$ 为 $x$ 轴上的一动点，点 $Q$ 坐标为 $(1, 0)$ ，当 $P$ 、 $N$ 、 $B$ 、 $Q$ 构成平行四边形时，求点 $P$ 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点 $N$ 的坐标．

科目数学题型计算题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + m + 4 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

（1）求 $m$ 的取值范围；

（2）若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $3 x_{1} = | x_{2} | + 2$ ，求 $m$ 的值．

计算： $- 2^{2} + \sqrt[3]{- 8} + \sqrt{2} \cdot \cos 45 °$ ．

如图，矩形 $OABC$ 的两边在坐标轴上，点 $A$ 的坐标为 $(10, 0)$ ，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 4$ 过点 $B$ ， $C$ 两点，且与 $x$ 轴的一个交点为 $D (- 2, 0)$ ，点 $P$ 是线段 $CB$ 上的动点，设 $CP = t (0 < t < 10)$ ．

（1）请直接写出 $B$ 、 $C$ 两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）过点 $P$ 作 $PE ⊥ BC$ ，交抛物线于点 $E$ ，连接 $BE$ ，当 $t$ 为何值时， $∠ PBE = ∠ OCD$ ？

（3）点 $Q$ 是 $x$ 轴上的动点，过点 $P$ 作 $PM / / BQ$ ，交 $CQ$ 于点 $M$ ，作 $PN / / CQ$ ，交 $BQ$ 于点 $N$ ，当四边形 $PMQN$ 为正方形时，请求出 $t$ 的值．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $CD$ 是中线， $AC = BC$ ，一个以点 $D$ 为顶点的 $45 °$ 角绕点 $D$ 旋转，使角的两边分别与 $AC$ 、 $BC$ 的延长线相交，交点分别为点 $E$ ， $F$ ， $DF$ 与 $AC$ 交于点 $M$ ， $DE$ 与 $BC$ 交于点 $N$ ．

（1）如图1，若 $CE = CF$ ，求证： $DE = DF$ ；

（2）如图2，在 $∠ EDF$ 绕点 $D$ 旋转的过程中：

①探究三条线段 $AB$ ， $CE$ ， $CF$ 之间的数量关系，并说明理由；

②若 $CE = 4$ ， $CF = 2$ ，求 $DN$ 的长．

为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为 $1000 m^{2}$ 的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为 $x (m^{2})$ ，种草所需费用 $y_{1}$ （元）与 $x (m^{2})$ 的函数关系式为 $y_{1} = \{\begin{matrix} k_{1} x (0 ⩽ x < 600) \\ k_{2} x + b (600 ⩽ x ⩽ 1000) \end{matrix}$ ，其图象如图所示：栽花所需费用 $y_{2}$ （元 $)$ 与 $x (m^{2})$ 的函数关系式为 $y_{2} = - 0.01 x^{2} - 20 x + 30000 (0 ⩽ x ⩽ 1000)$ ．

（1）请直接写出 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 和 $b$ 的值；

（2）设这块 $1000 m^{2}$ 空地的绿化总费用为 $W$ （元），请利用 $W$ 与 $x$ 的函数关系式，求出绿化总费用 $W$ 的最大值；

（3）若种草部分的面积不少于 $700 m^{2}$ ，栽花部分的面积不少于 $100 m^{2}$ ，请求出绿化总费用 $W$ 的最小值．

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