如图，码头A、B分别在海岛O的北偏东45°和北偏东60°方向-优题课

如图，码头 $A$ 、 $B$ 分别在海岛 $O$ 的北偏东 $45 °$ 和北偏东 $60 °$ 方向上，仓库 $C$ 在海岛 $O$ 的北偏东 $75 °$ 方向上，码头 $A$ 、 $B$ 均在仓库 $C$ 的正西方向，码头 $B$ 和仓库 $C$ 的距离 $BC = 50 km$ ，若将一批物资从仓库 $C$ 用汽车运送到 $A$ 、 $B$ 两个码头中的一处，再用货船运送到海岛 $O$ ，若汽车的行驶速度为 $50 km / h$ ，货船航行的速度为 $25 km / h$ ，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵海岛 $O$ ？（两个码头物资装船所用的时间相同，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7)$

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形的应用-方向角问题

红星公司销售一种成本为 $40$ 元/件的产品，若月销售单价不高于 $50$ 元 $/$ 件，一个月可售出 $5$ 万件；月销售单价每涨价 $1$ 元，月销售量就减少 $0.1$ 万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为 $x$ （单位:元/件），月销售量为 $y$ （单位:万件）.

（1）直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元?

（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款 $a$ 元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于 $70$ 元/件，月销售最大利润是 $78$ 万元，求 $a$ 的值.

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度（单位: $km / h$ ）是车流密度（单位:辆 $/ km)$ 的函数.当桥上的车流密度达到 $200$ 辆 $/ km$ 时，造成堵塞，此时车流速度为 $0$ ；当车流密度不超过 $20$ 辆 $/ km$ 时，车流速度为 $60 km / h$ ，研究表明:当 $0 ⩽ x ⩽ 200$ 时，车流速度是车流密度的一次函数.

（1）当 $0 ⩽ x ⩽ 200$ 时，求 $v$ 与 $x$ 之间的函数解析式 $v (x)$ ；

（2）当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位:辆 $/ h) f (x) = x \cdot v (x)$ 可以达到最大，并求出最大值（精确到辆 $/ h)$ .

我区某镇地理位置偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售.我区政府对该花木产品每投资 $x$ 万元，所获利润为 $P = - \frac{1}{50} {(x - 30)}^{2} + 10$ 万元.为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多 $50$ 万元.若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出 $25$ 万元投资修通一条公路，且5年修通.公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资 $x$ 万元可获利润 $Q = - \frac{49}{50} {(50 - x)}^{2} + \frac{194}{5} (50 - x) + 308$ 万元.

（1）若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?

（2）若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少?

（3）根据（1）、（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法.

超市购进某种苹果，如果进价增加 $2$ 元 $/ kg$ 要用300元；如果进价减少2元 $/ kg$ ，同样数量的苹果只用 $200$ 元.

（1）求苹果的进价；

（2）如果购进这种苹果不超过 $100 kg$ ，就按原价购进；如果购进苹果超过 $100 kg$ ，超过部分购进价格减少 $2$ 元 $/ kg$ ，写出购进苹果的支出 $y ($ 元 $)$ 与购进数量 $x (kg)$ 之间的函数关系式；

（3）超市一天购进苹果数量不超过 $300 kg$ ，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价 $z ($ 元 $/ kg)$ 与一天销售数量 $x (kg)$ 的关系为 $z = - \frac{1}{100} x + 12$ .在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润 $w$ （元）最大，求一天购进的苹果数量.（利润=销售收入-购进支出）

我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一轾，即三角形的三边长分别为 $a, b, c$ ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，则其面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .这个公式也被称为海伦秦九韶公式.若 $p = 5, c = 4$ ，求此三角形面积的最大值.

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