如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切-优题课

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $AB$ 的延长线上， $CD$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $D$ ， $CE ⊥ AD$ ，交 $AD$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $∠ BDC = ∠ A$ ；

（2）若 $CE = 4$ ， $DE = 2$ ，求 $AD$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆周角定理相似三角形的判定与性质切线的性质

如图，四边形 $ABCD$ 是平行四边形，延长 $BA$ 至 $E$ ，延长 $DC$ 至 $F$ ，使得 $AE = CF$ ，连接 $EF$ 交 $AD$ 于 $G$ ，交 $BC$ 于 $H$ ．求证： $ΔAEG ≅ ΔCFH$ ．

如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点， $B$ 点坐标为 $(3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形 $ABPC$ 的面积最大时，求点 $P$ 的坐标和四边形 $ABPC$ 的最大面积．

（3）直线 $l$ 经过 $A$ 、 $C$ 两点，点 $Q$ 在抛物线位于 $y$ 轴左侧的部分上运动，直线 $m$ 经过点 $B$ 和点 $Q$ ，是否存在直线 $m$ ，使得直线 $l$ 、 $m$ 与 $x$ 轴围成的三角形和直线 $l$ 、 $m$ 与 $y$ 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线 $m$ 的解析式，若不存在，请说明理由．

如图，在 $ΔAOB$ 中， $∠ AOB$ 为直角， $OA = 6$ ， $OB = 8$ ，半径为2的动圆圆心 $Q$ 从点 $O$ 出发，沿着 $OA$ 方向以1个单位长度 $/$ 秒的速度匀速运动，同时动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿着 $AB$ 方向也以1个单位长度 $/$ 秒的速度匀速运动，设运动时间为 $t$ 秒 $(0 < t ⩽ 5)$ 以 $P$ 为圆心， $PA$ 长为半径的 $⊙ P$ 与 $AB$ 、 $OA$ 的另一个交点分别为 $C$ 、 $D$ ，连接 $CD$ 、 $QC$ ．

（1）当 $t$ 为何值时，点 $Q$ 与点 $D$ 重合？

（2）当 $⊙ Q$ 经过点 $A$ 时，求 $⊙ P$ 被 $OB$ 截得的弦长．

（3）若 $⊙ P$ 与线段 $QC$ 只有一个公共点，求 $t$ 的取值范围．

如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $F$ 在边 $BC$ 上，且 $AF = AD$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AF$ ，垂足为点 $E$

（1）求证： $DE = AB$ ；

（2）以 $A$ 为圆心， $AB$ 长为半径作圆弧交 $AF$ 于点 $G$ ，若 $BF = FC = 1$ ，求扇形 $ABG$ 的面积．（结果保留 $π)$

某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价 $m$ 元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价 $n$ 元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．

（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？

（2）设每月用水量为 $x$ 吨，应交水费为 $y$ 元，请写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？

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