如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且A-优题课

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $AD ⊥ CD$ 于点 $D$ ，且 $AC$ 平分 $∠ DAB$ ，求证：

（1）直线 $DC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2） $A C^{2} = 2 AD \cdot AO$ ．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆周角定理相似三角形的判定与性质切线的判定

先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{x + 2}) \div \frac{x^{2} - 1}{x + 2}$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ ．

如图，点 $E$ ， $F$ 分别在菱形 $ABCD$ 的边 $BC$ ， $CD$ 上，且 $BE = DF$ ．求证： $∠ BAE = ∠ DAF$ ．

解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x ⩽ 6 - x, ① \\ 3 x + 1 > 2 (x - 1) \cdot ② \end{matrix}$

抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 3, 0)$ 和点 $B (2, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点 $P$ 是该抛物线上的动点，且位于 $y$ 轴的左侧．

①如图1，过点 $P$ 作 $PD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，作 $PE ⊥ y$ 轴于点 $E$ ，当 $PD = 2 PE$ 时，求 $PE$ 的长；

②如图2，该抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $∠ ACP = ∠ OCB$ ？若存在，请求出所有点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

四边形 $ABCD$ 是边长为2的正方形， $E$ 是 $AB$ 的中点，连结 $DE$ ，点 $F$ 是射线 $BC$ 上一动点（不与点 $B$ 重合），连结 $AF$ ，交 $DE$ 于点 $G$ ．

（1）如图1，当点 $F$ 是 $BC$ 边的中点时，求证： $ΔABF ≅ ΔDAE$ ；

（2）如图2，当点 $F$ 与点 $C$ 重合时，求 $AG$ 的长；

（3）在点 $F$ 运动的过程中，当线段 $BF$ 为何值时， $AG = AE$ ？请说明理由．