如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点 $(A$在 $B$的左侧），且 $\mathit{OA}=3$， $\mathit{OB}=1$，与 $y$轴交于 $C(0,3)$，抛物线的顶点坐标为 $D(-1,4)$．

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）过点 $D$作直线 $\mathit{DE}//y$轴，交 $x$轴于点 $E$，点 $P$是抛物线上 $B$、 $D$两点间的一个动点（点 $P$不与 $B$、 $D$两点重合）， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$与直线 $\mathit{DE}$分别交于点 $F$、 $G$，当点 $P$运动时， $\mathit{EF}+\mathit{EG}$是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数综合题