如图，已知抛物线y−x2bxc与y轴相交于点A(0,3)，与-优题课

题文

如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 与 $y$ 轴相交于点 $A (0, 3)$ ，与 $x$ 正半轴相交于点 $B$ ，对称轴是直线 $x = 1$

（1）求此抛物线的解析式以及点 $B$ 的坐标．

（2）动点 $M$ 从点 $O$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $x$ 轴正方向运动，同时动点 $N$ 从点 $O$ 出发，以每秒3个单位长度的速度沿 $y$ 轴正方向运动，当 $N$ 点到达 $A$ 点时， $M$ 、 $N$ 同时停止运动．过动点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交线段 $AB$ 于点 $Q$ ，交抛物线于点 $P$ ，设运动的时间为 $t$ 秒．

①当 $t$ 为何值时，四边形 $OMPN$ 为矩形．

②当 $t > 0$ 时， $ΔBOQ$ 能否为等腰三角形？若能，求出 $t$ 的值；若不能，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

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已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（）

在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（，），（，），…，都是和谐点．

（1）分别判断函数和的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点（，），且当时，函数的最小值为－3，最大值为1，求的取值范围；
（3）直线经过和谐点P，与轴交于点D，与反比例函数的图象交于M，N两点（点M在点N的左侧），若点P的横坐标为1，且，请直接写出的取值范围．

△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，将△AHC绕点H逆时针旋转90°后，点C的对应点为点D，直线BD与直线AC交于点E，连接EH．

（1）如图1，当∠BAC为锐角时，
①求证：BE⊥AC；
②求∠BEH的度数；
（2）当∠BAC为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC，ED，EH之间的数量关系．

抛物线与轴交于点C（0，3），其对称轴与轴交于点A（2，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线适当平移，使平移后的抛物线的顶点为D（0，）．已知点B（2，2），若抛物线与△OAB的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求的取值范围．

阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．

（1）小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：AD的取值范围是．
（2）参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D．求证：PA•CD＝PC•BD．

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