如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．-优题课

题文

如图，海上观察哨所 $B$ 位于观察哨所 $A$ 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所 $A$ 与哨所 $B$ 同时发现一走私船，其位置 $C$ 位于哨所 $A$ 北偏东 $53 °$ 的方向上，位于哨所 $B$ 南偏东 $37 °$ 的方向上．

（1）求观察哨所 $A$ 与走私船所在的位置 $C$ 的距离；

（2）若观察哨所 $A$ 发现走私船从 $C$ 处以16海里 $/$ 小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东 $76 °$ 的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在 $D$ 处成功拦截．（结果保留根号）

（参考数据： $\sin 37 ° = \cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 37 ° = \sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $\tan 76 ° \approx 4)$

科目数学题型计算题难度中等

知识点：解直角三角形的应用-方向角问题

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计算： $\sqrt{2} \times \sqrt{6} - {(\sqrt{3} + 1)}^{2}$

若一次函数 $y = - 3 x - 3$ 的图象与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $C$ 两点，点 $B$ 的坐标为 $(3, 0)$ ，二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，如图（1）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图（1），过点 $C$ 作 $CD / / x$ 轴交抛物线于点 $D$ ，点 $E$ 在抛物线上 $(y$ 轴左侧），若 $BC$ 恰好平分 $∠ DBE$ ．求直线 $BE$ 的表达式；

（3）如图（2），若点 $P$ 在抛物线上（点 $P$ 在 $y$ 轴右侧），连接 $AP$ 交 $BC$ 于点 $F$ ，连接 $BP$ ， $S_{ΔBFP} = m S_{ΔBAF}$ ．

①当 $m = \frac{1}{2}$ 时，求点 $P$ 的坐标；

②求 $m$ 的最大值．

如图，二次函数 $y = a x^{2} + bx + 4$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，其对称轴与线段 $BC$ 交于点 $E$ ，垂直于 $x$ 轴的动直线 $l$ 分别交抛物线和线段 $BC$ 于点 $P$ 和点 $F$ ，动直线 $l$ 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿 $x$ 轴正方向移动到 $B$ 点．

（1）求出二次函数 $y = a x^{2} + bx + 4$ 和 $BC$ 所在直线的表达式；

（2）在动直线 $l$ 移动的过程中，试求使四边形 $DEFP$ 为平行四边形的点 $P$ 的坐标；

（3）连接 $CP$ ， $CD$ ，在动直线 $l$ 移动的过程中，抛物线上是否存在点 $P$ ，使得以点 $P$ ， $C$ ， $F$ 为顶点的三角形与 $ΔDCE$ 相似？如果存在，求出点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

（1）解方程： $\frac{x}{x + 2} = \frac{2}{x - 1} + 1$ ．

（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x - 4 > 0 \\ x + 1 ⩽ 4 (x - 2) \end{matrix}$

（1）计算： $2^{- 1} + {(2018 - π)}^{0} - \sin 30 °$

（2）化简： ${(a + 1)}^{2} - a (a + 1) - 1$ ．

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